Aufgabe 1268
AHS - 1_268 & Lehrstoff: FA 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Gleichung einer indirekten Proportionalität
Gegeben ist eine Funktion f mit der Gleichung \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z} + b{\text{ wobei }}z \in {\Bbb Z}{\text{ und }}a,b \in {\Bbb R}\)
Aufgabenstellung:
Welche Werte müssen die Parameter b und z annehmen, damit durch f ein indirekt proportionaler Zusammenhang beschrieben wird? Ermitteln Sie die Werte der Parameter b und z!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Mit \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z} + b\) ist eine Polynomfunktion vom Typ: \(f\left( x \right) = {a_n} \cdot {x^n} + {a_{n - 1}} \cdot {x^{n - 1}} + ... + {a_1} \cdot x + {a_0}\)gegeben, wobei
- n=z
- an-1 .. a1=0
- a0=b:
Wir sollen daraus durch Koeffizientenvergleich eine indirekt proportionale Funktion vom Typ \(f\left( x \right) = \dfrac{a}{x} = a \cdot {x^{ - 1}}\)machen.
Lösungsweg
Wenn wir die gegebene Polynomfunktion \(f\left( x \right) = a \cdot {x^z} + b\) der gesuchten indirekt proportionalen Funktion \(f\left( x \right) = \dfrac{a}{x} = a \cdot {x^{ - 1}}\) gegenüberstellen \(a \cdot {x^z} + b = a \cdot {x^{ - 1}}\), dann sehen wir sofort, dass
- b=0
- z=-1
gelten muss.
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- b=0
- z=-1
Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe ist dann als richtig gelöst zu werten, wenn beide Werte korrekt angegeben sind.