Aufgabe 1502
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 20. September 2016 - Teil-1-Aufgaben - 16. Aufgabe
Quelle: Distance-Learning-Check vom 15. April 2020 - Teil-1 Aufgaben - 16. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Differenzierbare Funktion
Die nachstehende Abbildung zeigt den Ausschnitt eines Graphen einer Polynomfunktion f. Die Tangentensteigung an der Stelle x = 6 ist maximal.
- Aussage 1: \(f''\left( 6 \right) = 0\)
- Aussage 2: \(f''\left( {11} \right) < 0\)
- Aussage 3: \(f''\left( 2 \right) < f''\left( {10} \right)\)
- Aussage 4: \(f'\left( 6 \right) = 0\)
- Aussage 5: \(f'\left( 7 \right) < f'\left( {10} \right)\)
Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die beiden für die gegebene Funktion f zutreffenden Aussagen an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Zusammenhang zwischen höheren Ableitungen
| \(f\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x) hat eine Nullstelle an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton wachsend |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist streng monoton fallend |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0\) | ⇒ | f(x0) hat eine waagrechte Tangente an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) hat Tiefpunkt / lokales Minimum an der Stelle x0 |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) hat Hochpunkt / lokales Maximum an der Stelle x0 |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) > 0\) | ⇒ | f(x0) ist links / positiv / konkav gekrümmt |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) < 0\) | ⇒ | f(x0) ist rechts / negativ / konvex gekrümmt |
| \(f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Wendepunkt (Graph ändert sein Krümmungsverhalten) an der Stelle x0; Der WP ist jener Punkt, an dem f(x) die stärkste Steigung hat. |
| \(f'\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f''\left( {{x_0}} \right) = 0{\text{ und }}f'''\left( {{x_0}} \right) \ne 0\) | ⇒ | f(x0) hat einen Sattelpunkt (=Wendepunkt mit waagrechter Tangente) an der Stelle x0 |
Lösungsweg
- Aussage 1: Diese Aussage ist richtig, weil laut Angabe die Tangentensteigung an der Stelle x=6 maximal ist → an dieser Stelle muss f(x) einen Wendepunkt haben → die Voraussetzung für einen WP ist aber unter anderem dass die 2. Ableitung an dieser Stelle null sein muss: \(f''\left( 6 \right) = 0\)
- Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil der Graph von f an der Stelle x=11 rechts gekrümmt ist, daher muss die 2. Ableitung an dieser Stelle kleiner als null sein: \(f''\left( {11} \right) < 0\)
- Aussage 3: Diese Aussage ist falsch, weil der Graph von f an der Stelle x=2 links gekrümmt ist, muss die 2. Ableitung an dieser Stelle größer null sein, während an der Stelle x=12 der Graph von f rechts gekrümmt uns somit die 2. Ableitung kleiner null sein muss. Daher muss gelten: \(f''\left( 2 \right) > f''\left( {10} \right)\)
- Aussage 4: Diese Aussage ist falsch, weil laut Angabe die Tangentensteigung an der Stelle x=6 maximal und auf keinen Fall horizontal ist. → Daher kann die 1. Ableitung, die ja der Steigung der Tangente entspricht, auf keinen Fall die Steigung null haben.
- Aussage 5: Diese Aussage ist falsch, weil in diesem Bereich die Kurve rechtsgekrümmt verläuft und sich einem Extremwert nähert. → Die Steigung der Tangente ist im WP (x=6) maximal und nimmt mit zunehmenden x ab um an der Stelle vom HP dann null zu sein
Nachfolgend eine GeoGebra basierte Illustration der Zusammenhänge:
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Aussage 1: Richtig
- Aussage 2: Richtig
- Aussage 3: Falsch
- Aussage 4: Falsch
- Aussage 5: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn ausschließlich die beiden richtigen Aussage angekreuzt sind.