Aufgabe 1404
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 11. Mai 2015 - Teil-1-Aufgaben - 18. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Integral einer Funktion f
Die nachstehende Abbildung zeigt den Graphen der Polynomfunktion f. Alle Nullstellen sind ganzzahlig. Die Fläche, die vom Graphen der Funktion f und der x-Achse begrenzt wird, ist schraffiert dargestellt. A bezeichnet die Summe der beiden schraffierten Flächeninhalte.
Aufgabenstellung:
Geben Sie einen korrekten Ausdruck für A mithilfe der Integralschreibweise an!
A =
Lösungsweg
Wir haben es hier mit einer Fläche zu tun, die links von der Stelle x=1 negativ orientiert ist und rechts von dieser Stelle positiv orientiert ist. Um die korrekte Summe zu bilden, müssen wir die die linke Fläche entweder negativ in die Summe eingehen lassen oder deren Betrag zur rechten Fläche addieren.
Es gibt verschiedene Schreibweisen für die Summenfläche:
\(\eqalign{ & A = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,\,dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,\,dx \cr & A = \left| {\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,\,dx} \right| + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,\,dx \cr & A = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,\,dx \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\eqalign{ & A = - \int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,\,dx + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,\,dx \cr & A = \left| {\int\limits_{ - 2}^1 {f\left( x \right)} \,\,dx} \right| + \int\limits_1^2 {f\left( x \right)} \,\,dx \cr & A = \int\limits_{ - 2}^2 {\left| {f\left( x \right)} \right|} \,\,dx \cr} \)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für einen korrekten Ausdruck für A, wobei äquivalente Darstellungen sowie Schreibweisen wie \(\int\limits_1^2 f \,\,dx - \int\limits_{ - 2}^1 f \,\,dx\) und Schreibweisen ohne „dx“ (wie etwa \(\int\limits_1^2 f - \int\limits_{ - 2}^1 f \)) ebenfalls als richtig zu werten sind.