Aufgabe 1178
AHS - 1_178 & Lehrstoff: AN 2.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Ableitung von Funktionen
Die Ableitungsfunktion einer Funktion kann mithilfe einfacher Regeln des Differenzierens ermittelt werden.
| A | \(f'\left( x \right) = - 4x + 2\) |
| B | \(f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }}\) |
| C | \(f'\left( x \right) = \dfrac{2}{{\sqrt {2x} }}\) |
| D | \(f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^4}}}\) |
| E | \(f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^3}}}\) |
| F | \(f'\left( x \right) = - \dfrac{2}{{{x^2}}}\) |
Aufgabenstellung:
Ordnen Sie den nachfolgend gegebenen Funktionen f1, ... f4 jeweils die entsprechende Ableitungsfunktion (aus A bis F) zu!
| Deine Antwort | |
| \({f_1}\left( x \right) = \dfrac{2}{x}\) | |
| \({f_2}\left( x \right) = - 2{x^2} + 2x - 2\) | |
| \({f_3}\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}}\) | |
| \({f_4}\left( x \right) = \sqrt {2x} \) |
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Quotientenregel
\(\eqalign{ & \dfrac{{f\left( x \right)}}{{g\left( x \right)}} \cr & \dfrac{{f'\left( x \right) \cdot g\left( x \right) - f\left( x \right) \cdot g'\left( x \right)}}{{{g^2}\left( x \right)}} \cr}\)
Potenzen differenzieren
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = {x^n} \cr & y' = f'\left( x \right) = n \cdot {x^{n - 1}} \cr}\)
Wurzeln differenzieren
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = \sqrt x = {x^{\dfrac{1}{2}}} \cr & y' = f'\left( x \right) = \dfrac{1}{{2 \cdot \sqrt x }} \cr}\)
Lösungsweg
Wir wenden die oben angeführten Regel für das Differenzieren auf die 4 gegebenen Funktionen f1 .. f4 an und vergleichen dann mit den vorgebebenen Lösungen A ... F
- Funktion1: \({f_1}\left( x \right) = \dfrac{2}{x} \Rightarrow {f_1}^\prime \left( x \right) = \dfrac{{0 \cdot x - 2 \cdot 1}}{{{x^2}}} = - \dfrac{2}{{{x^2}}} \Rightarrow F\)
- Funktion 2: \({f_2}\left( x \right) = - 2{x^2} + 2x - 2 \Rightarrow {f_2}^\prime \left( x \right) = - 2 \cdot 2x + 2 = - 4x + 2 \Rightarrow A\)
- Funktion 3: \({f_3}\left( x \right) = \dfrac{1}{{{x^2}}} \Rightarrow {f_3}^\prime \left( x \right) = \dfrac{{0 \cdot {x^2} - 1 \cdot 2x}}{{{x^4}}} = - \dfrac{2}{{{x^3}}} \Rightarrow E\)
- Funktion 4: \({f_4}\left( x \right) = \sqrt {2x} \Rightarrow {f_4}^\prime \left( x \right) = {\left( {{{\left( {2x} \right)}^{\dfrac{1}{2}}}} \right)^\prime } = \dfrac{1}{{2 \cdot \root 2 \of {{{\left( {2x} \right)}^{2 - 1}}} }} \cdot 2 = \dfrac{1}{{\sqrt {2x} }} \Rightarrow B\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
| f1 | F |
| f2 | A |
| f3 | E |
| f4 | B |
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn alle vier Buchstaben richtig zugeordnet sind.