Aufgabe 1034

AHS - 1_034 & Lehrstoff: AN 3.3
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Wendestelle

Ein Becken wird mit Wasser gefüllt. Die in das Becken zufließende Wassermenge, angegeben in m3 pro Stunde, kann im Intervall [0; 8) durch die Funktion f beschrieben werden. Die Funktion f hat an der Stelle t = 4 eine Wendestelle.

Funktion f f(x) = Wenn[0 < x < 8, 5ℯ^(-0.03x²)] f text1 = "f" f(t) in m³ / h text2 = "f(t) in m³ / h" t in h text3 = "t in h"

  • Aussage 1: An der Stelle t = 4 geht die Linkskrümmung (f''(t) > 0) in eine Rechtskrümmung (f''(t) < 0) über.
  • Aussage 2: An der Stelle t = 4 geht die Rechtskrümmung (f''(t) < 0) in eine Linkskrümmung (f''(t) > 0) über.
  • Aussage 3: Der Wert der zweiten Ableitung der Funktion f an der Stelle 4 ist null.
  • Aussage 4: Es gilt f''(t) > 0 für t > 4.
  • Aussage 5: Für t > 4 sinkt die pro Stunde zufließende Wassermenge.

Aufgabenstellung:
Kreuzen Sie die für die Funktion f zutreffende(n) Aussage(n) an!

Lösungsweg

Ob der Graph einer Funktion links oder rechts gekrümmt ist, kann man mit folgender Merkregel feststellen: Fährt man mit einem Fahrzeug den Graph von links nach rechst entlang und muss man nach links lenken, dann liegt eine Linkskrümmung vor (bzw. muss man nach rechts lenken, liegt eine Rechtskrümmung vor).

  • Aussage 1: Diese Aussage ist falsch, weil links von t=4 muss man gemäß obiger Merkregel "nach rechts lenken" und rechts von t=4 muss man "nach links lenken" → Rechtskrümmung geht in Linkskrümmung über
     
  • Aussage 2: Diese Aussage ist richtig, weil links von t=4 muss man gemäß obiger Merkregel "nach rechts lenken" und rechts von t=4 muss man "nach links lenken"→ Rechtskrümmung geht in Linkskrümmung über
     
  • Aussage 3: Diese Aussage ist richtig, weil die NEW-Regel besagt, dass wenn f(x) an einer Stelle einen WP hat, die 2. Ableitung an dieser Stelle eine NST sein muss.
     
  • Aussage 4: Diese Aussage ist richtig, weil die Funktion in diesem Bereich links gekrümmt ist und daher (wie man sogar in der Angabe nachlesen kann) f''(t) > 0 sein muss.
     
  • Aussage 5: Diese Aussage ist richtig, weil rechts von t > 4 die Steigung der Tangente an f(x) (die 1. Ableitung, die Änderung der zufließenden Wassermenge) immer mehr abflacht und im Punkt t=8 sogar horizontal und somit zu null wird.

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

  • Aussage 1: Falsch
  • Aussage 2: Richtig
  • Aussage 3: Richtig
  • Aussage 4: Richtig
  • Aussage 5: Richtig

Lösungsschlüssel:
Die Aufgabe gilt nur dann als richtig gelöst, wenn genau die vier zutreffenden Aussagen angekreuzt sind.