Aufgabe 1857
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 4. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Würfel und Vektor
Die nachstehende Abbildung zeigt einen Würfel, dessen Grundfläche ABCD in der xy-Ebene liegt.
- Vektor 1: \(\overrightarrow {EC} \)
- Vektor 2: \(\overrightarrow {FD} \)
- Vektor 3: \(\overrightarrow {GA} \)
- Vektor 4: \(\overrightarrow {GD} \)
- Vektor 5: \(\overrightarrow {HA} \)
- Vektor 6: \(\overrightarrow {HB} \)
Aufgabenstellung [0 / 1 P.] – Bearbeitungszeit < 5 Minuten
Zwei Eckpunkte dieses Würfels legen einen bestimmten Vektor fest, der in Richtung des Vektors \(\overrightarrow v = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - 1}\\ { - 1} \end{array}} \right)\) verläuft.
Kreuzen Sie diesen Vektor an.
Lösungsweg
Der Vektor v führt vom Ausgangs- zum Endpunkt. Wir suchen jenen Ausgangspunkt, von dem es möglich ist
- vx=1 also 1 Einheit in die positive x-Achse zu gehen, ohne die Kontur des Würfels zu verlassen. Daher muss der Ausgangspunkt in der yz-Ebene liegen und es kommen die Punkte C, D, H und G in Frage.
- vy=-1 also 1 Einheit in Richtung der negativen y-Achse zu gehen. Somit verbleiben die Punkte C und G.
- vz=-1 also 1 Einheit in Richtung der negativen z-Achse zu gehen, somit verbleibt als Ausgangspunkt nur mehr G.
- Es kommen somit die Vektoren 3 und 4 in Frage, da sie jeweils im Punkt G starten. Folgen wir nun von G aus dem gegeben Richtungsvektor v um den Endpunkt A oder D zu bestimmen:
- +1 in x-Richtung → Punkt F
- -1 in y-Richtung → Punkt E
- -1 in z-Richtung → Punkt A
→ Beim gesuchten Vektor handelt es sich um den Vektor 3 von G nach A
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
- Vektor 1: Falsch
- Vektor 2: Falsch
- Vektor 3: Richtig
- Vektor 4: Falsch
- Vektor 5: Falsch
- Vektor 6: Falsch
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ankreuzen.