Aufgabe 1834
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 21. Mai 2021 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Quadrat
Von einem Quadrat mit den Eckpunkten A, B, C und D sind der Eckpunkt C = (5 | –3) und der Schnittpunkt der Diagonalen M = (3 | 1) gegeben. Die Eckpunkte A, B, C und D des Quadrats sind dabei gegen den Uhrzeigersinn angeordnet.
Aufgabenstellung:
Ermitteln Sie die Koordinaten der Eckpunkte A und B.
- A=
- B=
[0 / ½ / 1 P.]
Lösungsweg
Wir machen eine Skizze zur Veranschaulichung.
- Die Punkte M und C sind gegeben.
- Zuerst zeichnet man den Umkreis vom Quadrat ein. Dessen Radius entspricht der Strecke MC.
- Die Verbindungsgerade von C durch M schneidet den Umkreis im Punkt A
- Eine Normale auf die Verbindungsgerade durch M schneidet den Umkreis in den Punkten B und D
- Die Beschriftung erfolgt ausgehende vom Punkt C entgegen dem Uhrzeigersinn: CDAB
Zuerst berechnen wir die Koordinaten vom Punkt A. A erhalten wir, wenn wir vom Ursprung aus zum Punkt M gehen und von dort aus zusätzlich die Strecke von C nach M. Wir können wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} A = M + \overrightarrow {CM} \\ \overrightarrow {CM} = M - C = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right) - \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 5\\ { - 3} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 5}\\ {1 + 3} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 4 \end{array}} \right)\\ A = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 4 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 2}\\ {1 + 4} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 5 \end{array}} \right) \end{array}\)
Danach berechnen wir die Koordinaten vom Punkt B. B erhalten wir, wenn wir vom Ursprung aus zum Punkt M gehen und von dort aus zusätzlich die um 90° nach links gekippte Strecke von C nach M. Wir können wie folgt anschreiben:
\(B = M + {\overrightarrow {CM} _{{\rm{linkskipp}}}}\)
Bei der Linkskippregel werden die Komponenten vertauscht und bei der oberen Komponente wird auch das Vorzeichen vertauscht:
\(\overrightarrow {CM} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 4 \end{array}} \right) \to {\overrightarrow {CM} _{{\rm{linkskipp}}}} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ { - 2} \end{array}} \right)\)
Wir können für B wie folgt anschreiben:
\(B = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 1 \end{array}} \right) + \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 4}\\ { - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {3 - 4}\\ {1 - 2} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ { - 1} \end{array}} \right)\)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\begin{array}{l} A = \left( {1\left| 5 \right.} \right)\\ B = \left( { - 1\left| { - 1} \right.} \right) \end{array}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Ermitteln der Koordinaten beider Eckpunkte, ein halber Punkt für die richtigen Koordinaten nur eines Eckpunkts.