Aufgabe 1713

Für die Gleichung der gesuchten Geraden bietet sich die Punkt-Richtungsform (eine Form der Parametergleichung) an. Bei der Punkt-Richtungsform der Geraden setzt am Aufpunkt A der Richtungsvektor \(\overrightarrow r \)  auf, der in die Richtung der Geraden zeigt. Wir kennen aus der Angabe den Punkt A und benötigen daher noch den Richtungsvektor \(\overrightarrow r \).

Wir ermitteln zuerst den Verbindungsvektor von M nach N:
\(\begin{array}{l} M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 1}\\ 7 \end{array}} \right);\,\,\,\,\,N = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 1 \end{array}} \right);\\ \overrightarrow {MN} = N - M = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {8 - \left( { - 1} \right)}\\ {1 - 7} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 6} \end{array}} \right) \end{array}\)

Wir kennen nun den Vektor von M nach N. Uns reicht aber der Richtungsvektor \(\overrightarrow n \) , denn die Länge vom Vektor \(\overrightarrow {MN} \)  für uns ohne Bedeutung. Um mit kleineren Zahlen zu arbeiten, können wir daher durch 3 kürzen und wir folgt anschreiben:
\(\overrightarrow {MN} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 9\\ { - 6} \end{array}} \right) \to \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 2} \end{array}} \right)\)

Wir müssen nun den Richtungsvektor \(\overrightarrow n \) um 90°drehen, um die Richtung \(\overrightarrow r \) der gesuchten Geraden g zu erhalten. Man dreht einen Vektor um 90° indem man die Komponenten vertauscht und ein Vorzeichen umkehrt. Die gesuchte Gerade durch den Punkt A hat daher die Richtung
\(\overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ { - 2} \end{array}} \right) \to \overrightarrow r = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right) \buildrel \wedge \over = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 9 \end{array}} \right)\)

Somit können wir die gesuchte Gleichung der Geraden wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} g:X = A + t \cdot \overrightarrow r \\ g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 6 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ 3 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in {\Bbb R} \end{array}\)

Oder gleichwertig, hätten wir weiter oben nicht durch 3 gekürzt:
\(\begin{array}{l} g:X = A + t \cdot \overrightarrow r \\ g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 6 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 9 \end{array}} \right){\text{ mit }}t \in {\Bbb R} \end{array}\)

Im Lösungsteil wird auch die allgemeine Form der Geradengleichung mit \(g = 3 \cdot x - 2 \cdot y = 9\) angegeben. Wir zeigen nachfolgend, wir unser Resultat von der Punkt-Vektorform in die allgemeine Form umrechnen können:

Punkt-Vektorform:
\(\begin{array}{l} g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 6 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 9 \end{array}} \right){\rm{ }}\\ \left( {\begin{array}{*{20}{c}} x\\ y \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 7\\ 6 \end{array}} \right) + t\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 6\\ 9 \end{array}} \right)\\ \\ Gl.1:x = 7 + 6 \cdot t \to t = \frac{{x - 7}}{6}\\ Gl.2:y = 6 + 9 \cdot t\\ \\ Gl.2:y = 6 + 9 \cdot \frac{{x - 7}}{6}\\ y = 6 + 1,5 \cdot x - 10,5\\ y = - 4,5 + 1,5x\,\,\,\,\,\left| { \cdot 2} \right.\\ 2 \cdot y = - 9 + 3 \cdot x \end{array}\)

Somit lautet die allgemeine Form:
\(\begin{array}{l} g:3 \cdot x - 2 \cdot y = 9\\ g:3 \cdot x - 2 \cdot y - 9 = 0 \end{array}\)