Aufgabe 1369

Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2014 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Parameterdarstellung von Geraden

Gegeben ist eine Gerade g:
\(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1\\ 2 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 1 \end{array}} \right){\rm{ }}\)mit \({\text{s}} \in {\Bbb R}\)

Aufgabenstellung:
Welche der folgenden Geraden hi (i = 1, 2, ... , 5) mit ti ∈ ℝ (i = 1, 2, ... , 5) sind parallel zu g? Kreuzen Sie die beiden zutreffenden Antworten an!

  • Gerade 1: \({h_1}:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 8\\ 2\\ 3 \end{array}} \right) + {t_1} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ 1\\ 2 \end{array}} \right)\)
     
  • Gerade 2: \({h_2}:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 4\\ { - 7} \end{array}} \right) + {t_2} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 6}\\ 2 \end{array}} \right)\)
     
  • Gerade 3: \({h_3}:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1\\ 2 \end{array}} \right) + {t_3} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 1\\ { - 2} \end{array}} \right)\)
     
  • Gerade 4: \({h_4}:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 5\\ { - 1} \end{array}} \right) \cdot {t_4} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 3\\ { - 1} \end{array}} \right)\)
     
  • Gerade 5: \({h_5}:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2\\ 4 \end{array}} \right) + {t_5} \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 2\\ { - 3} \end{array}} \right)\)

Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen

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Lösungsweg

Bei allen 6 gegebenen Geraden handelt es sich um die sogenannte Punkt-Vektor-Form der Geradengleichung. D.h. jede Gerade ist durch einen Aufpunkt und einen Richtungsvektor gegeben. Damit wir die beiden parallelen Geraden finden können ist uns der Aufpunkt egal. Wir konzentrieren uns nur auf den jeweiligen Richtungsvektor.

Das Parallelitätskriterium besagt, dass zwei Vektoren dann zu einander parallel sind, wenn ein Vektor das Vielfache vom anderen Vektor ist:
\(\overrightarrow a \parallel \overrightarrow b \Leftrightarrow \overrightarrow b = \lambda \cdot \overrightarrow a \Leftrightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}}\\ {{b_z}} \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {\lambda \cdot {a_x}}\\ {\lambda \cdot {a_y}}\\ {\lambda \cdot {a_z}} \end{array}} \right)\)

Gerade 1: Falsch, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1} \cdot \left( { - 3} \right)}\\ {{\lambda _2} \cdot 1}\\ {{\lambda _3} \cdot 2} \end{array}} \right) \to {\lambda _1} \ne {\lambda _2} \to g\angle {h_1}\)

Gerade 2: Richtig, weil  \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1} \cdot 4}\\ {{\lambda _2} \cdot \left( { - 6} \right)}\\ {{\lambda _3} \cdot 2} \end{array}} \right) \to {\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda _3} = 2 \to g\parallel {h_2}\)

Gerade 3: Falsch, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1} \cdot \left( { - 2} \right)}\\ {{\lambda _2} \cdot 1}\\ {{\lambda _3} \cdot \left( { - 2} \right)} \end{array}} \right) \to {\lambda _1} \ne {\lambda _2} \to g\angle {h_3}\)

Gerade 4: Richtig, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1} \cdot \left( { - 2} \right)}\\ {{\lambda _2} \cdot 3}\\ {{\lambda _3} \cdot \left( { - 1} \right)} \end{array}} \right) \to {\lambda _1} = {\lambda _2} = {\lambda _3} = - 1 \to g\parallel {h_4}\)

Gerade 5: Falsch, weil \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 2\\ { - 3}\\ 1 \end{array}} \right) = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{\lambda _1} \cdot 1}\\ {{\lambda _2} \cdot 2}\\ {{\lambda _3} \cdot \left( { - 3} \right)} \end{array}} \right) \to {\lambda _1} \ne {\lambda _2} \to g\angle {h_5}\)

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:

  • Gerade 1: Falsch
  • Gerade 2: Richtig
  • Gerade 3: Falsch
  • Gerade 4: Richtig
  • Gerade 5: Falsch

Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist nur dann zu geben, wenn genau zwei Antworten angekreuzt sind und beide Kreuze richtig gesetzt sind.