Aufgabe 1345
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 09. Mai 2014 - Teil-1-Aufgaben - 5. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parallele Geraden
Gegeben sind Gleichungen der Geraden g und h. Die beiden Geraden sind nicht ident.
\(\begin{array}{l} g:y = - \dfrac{x}{4} + 8\\ h:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 1} \end{array}} \right) {\text{mit s}} \in {\Bbb R} \end{array} \)
Aufgabenstellung:
Begründen Sie, warum diese beiden Geraden parallel zueinander liegen!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Nachfolgendes Video, welches Lernende durch Hinweise dabei unterstützt, selbst einen geeigneten Lösungsweg zu finden, wird auf Grund von Privatsphären-Einstellungen nicht automatisch geladen.
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Lösungsweg
Wir müssen also zeigen, dass die Geraden die gleiche Steigung oder - was gleichwertig ist - parallele Richtungsvektoren, oder - was gleichwertig ist - parallele Normavektoren haben:
Die gleiche Steigung:
Die Gerade g hat die Steigung \({k_g} = - \dfrac{1}{4}\)
Die Gerade h können wir wie folgt in die Hauptform umrechnen, um auch deren Steigung ablesen zu können:
\(\begin{array}{l} x = {P_x} + s \cdot {r_x}\\ y = {P_y} + s \cdot {r_y}\\ \\ Gl.1:x = 4 + s \cdot 4\\ Gl.2:y = 3 + s \cdot \left( { - 1} \right)\\ \\ Gl.2:y = 3 - s\\ Gl.2:s = 3 - y \end{array}\)
s aus Gleichung 2 in Gleichung 1 einsetzen:
\(\begin{array}{l} x = 4 + \left( {3 - y} \right) \cdot 4\\ x = 4 + 12 - 4y\\ 4y + x = 16\\ 4y = - x + 16\\ y = - \dfrac{1}{4}x + 4 \end{array}\)
Die Gerade h hat somit die Steigung: \({k_h} = - \dfrac{1}{4}\)
Somit gilt: \({k_h} = - \dfrac{1}{4} = {k_g}\)
Parallele Richtungsvektoren:
\(h:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 3 \end{array}} \right) + s \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ { - 1} \end{array}} \right)\)
\(g:y = - \dfrac{1}{4} \cdot x + 8 \Rightarrow g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 0\\ 8 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - \dfrac{1}{4}} \end{array}} \right)\)
Somit gilt: \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - \frac{1}{4}} \end{array}} \right) = 4 \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right) \Rightarrow \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ { - \frac{1}{4}} \end{array}} \right)\parallel \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 4\\ 1 \end{array}} \right)\)
Parallele Normalvektoren:
Die Koeffizienten der allgemeinen Form der Geradengleichung sind zugleich die Koordinaten des Normalvektors: \(ax + by = c \Leftrightarrow \overrightarrow n = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ b \end{array}} \right)\). Wir formen beide Geradengleichungen in die Hauptform \(ax + by = c\) um:
Für die Gerade g ergibt sich:
\(\begin{array}{l} y = - \dfrac{x}{4} + 8\\ - \dfrac{1}{4}x - y = - 8\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( { - 4} \right)} \right.\\ x + 4y = 32 \end{array}\)
Für die Gerade h haben wir schon weiter oben die allgemeine Form wie folgt ermittelt:
\(x + 4y = 16\)
Nun kann man die beiden Normalvektoren wie folgt anschreiben:
\(\begin{array}{l} g:x + 4y = 32 \to {n_g} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 4 \end{array}} \right)\\ h:x + 4y = 16 \to {n_h} = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 1\\ 4 \end{array}} \right) \end{array}\)
Somit gilt: \(\overrightarrow {{n_g}} \parallel \overrightarrow {{n_h}} \Leftrightarrow g\parallel h\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
(Alle 3 Lösungen sind gleichwertig richtig)
\({k_g} = {k_h} \Leftrightarrow g\parallel h\)
\(\overrightarrow {{r_g}} \parallel \overrightarrow {{r_h}} \Leftrightarrow g\parallel h\)
\(\overrightarrow {{n_g}} \parallel \overrightarrow {{n_h}} \Leftrightarrow g\parallel h\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt wird vergeben, wenn eine Begründung vorhanden und mathematisch korrekt ist.