Aufgabe 1220
AHS - 1_220 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Raumdiagonale beim Würfel
Gegeben ist ein Würfel mit der Seitenlänge a
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie die Größe des Winkels φ zwischen einer Raumdiagonalen und einer Seitenflächendiagonalen eines Würfels!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Gesucht ist der Winkel \(\varphi\)
Um den Winkel \(\varphi\) zu berechnen betrachten wir das rechtwinkelige grüne Dreieck. Von diesem Dreieck kennen wir die Gegenkathete a und wir können uns die Ankathete d1 mit Hilfe vom Pythagoräischen Lehrsatz für deas rechtwinkelige rote Dreieck ausrechnen.
Tangens
\(\tan \varphi = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}}\)
Pythagoräischer Lehrsatz:
\({a^2} + {b^2} = {c^2}\)
Lösungsweg
Für den Winkel \(\varphi\) können wir wie folgt anschreiben:
\(\tan \varphi = \dfrac{{{\text{Gegenkathete}}}}{{{\text{Ankathete}}}} = \dfrac{a}{{{d_1}}}\)
Mittels einer Zwischenrechnung müssen wir d1 ausrechnen. Dazu betrachten wir das rote rechtwinkelige Dreieck, von dem wir die beiden Katheten - a - kennen und dessen Hypotenuse d1 ist. Unter Verwendung vom Pythagoräischer Lehrsatz können wir d1 wie folgt anschreiben:
\(\eqalign{ & {a^2} + {a^2} = {d_1}^2 = 2{a^2} \cr & {d_1} = \sqrt {2{a^2}} \cr & {d_1} = a\sqrt 2 \cr} \)
Damit können wir in die Bestimmungsgleichung von \(\tan \varphi\) wie folgt einsetzen und letztlich \(\varphi\) berechnen:
\(\begin{array}{l} \tan \varphi = \dfrac{a}{{{d_1}}} = \dfrac{a}{{a\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{1}{{\sqrt 2 }} \cdot \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }} = \dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\\ \\ \varphi = \arctan \left( {\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}} \right) = 35,26^\circ \end{array}\)
Anmerkung:
Ob einem für den \(\tan \varphi \) die Schreibweise \(\dfrac{1}{{\sqrt 2 }}\) oder die Schreibweise \(\dfrac{{\sqrt 2 }}{2}\) besser gefällt, ist Ansichtssache. Die Umrechnung erfolgt mittels Multiplikation mit 1, jedoch geschrieben als \(1 = \dfrac{{\sqrt 2 }}{{\sqrt 2 }}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(\varphi = 35,26^\circ\)
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall [35°; 36°]
Ein Punkt wird vergeben, wenn φ aus dem Losungsintervall [35°; 36°] ist.