Aufgabe 1219
AHS - 1_219 & Lehrstoff: AG 4.1
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Dennis Tito
Dennis Tito, der 2001 als erster Weltraumtourist unterwegs war, sah die Erdoberfläche unter einem Sehwinkel von 142°.
Aufgabenstellung:
Berechnen Sie, wie hoch (h) über der Erdoberfläche sich Dennis Tito befand, wenn vereinfacht die Erde als Kugel mit einem Radius r = 6 370 km angenommen wird! Geben Sie das Ergebnis auf ganze Kilometer gerundet an!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Der Sehwinkel (142°) ist der Winkel zwischen den beiden äußeren Randpunkten eines Gegenstands (hier die Erde) und dem Auge (von Hr. Tito), wobei Hr. Tito im rechten Winkel auf die Erde - also in Richtung vom Erdmittelpunkt - blickt. In einer Skizze zeichnen wir das für die Lösung der Aufgabe relevante rechtwinkelige Dreieck ein und beschriften es.
Sinus – Winkelfunktion
\(\sin \alpha = \dfrac{{{\rm{Gegenkathete}}}}{{{\rm{Hypotenuse}}}}\)
Lösungsweg
Vom rechtwinkeligen Dreieck kennen wir den Winkel 71°, die Hypotenuse r+h - als die dem rechen Winkel gegenüber liegende Seite - und die Gegenkathete r
Mir Hilfe der Definition vom Sinuns können wir wie folgt anschreiben:
\(\eqalign{ & \sin \left( {71^\circ } \right) = \frac{r}{{r + h}} \cr & \left( {r + h} \right) \cdot \sin \left( {71} \right) = r \cr & r \cdot \sin \left( {71} \right) + h \cdot sin\left( {71} \right) = r \cr & h \cdot sin\left( {71} \right) = r - r \cdot \sin \left( {71} \right) \cr & h = \frac{{r - r \cdot \sin \left( {71} \right)}}{{\sin \left( {71} \right)}} = \frac{r}{{\sin \left( {71} \right)}} - r \cr & h = \frac{{6370}}{{\sin \left( {71} \right)}} - 6370 = 367,044 \cr} \)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
h=367 km
Lösungsschlüssel:
Toleranzintervall [367; 368]
Die Aufgabe ist dann als richtig gelöst zu werten, wenn das Ergebnis im Toleranzintervall liegt.