Aufgabe 1216
AHS - 1_216 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Parallele Geraden
Gegeben sind die Geraden \(g:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} 3\\ 2 \end{array}} \right) + t \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 1 \end{array}} \right)\) und \(h:X = \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 3}\\ { - 1} \end{array}} \right) + s\left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ { - 2} \end{array}} \right)\)
Aufgabenstellung
Ermitteln Sie den Wert für a so, dass die beiden Geraden parallel zueinander sind!
Den Kern der Aufgabe erkennen und den Lösungsweg festlegen
Parallele Vektoren
\(\overrightarrow a \left\| {\overrightarrow b } \right.\,\, \Leftrightarrow \,\,\overrightarrow b = \lambda .\overrightarrow a \Leftrightarrow \left( {\matrix{ {{b_x}} \cr {{b_y}} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {\lambda .{a_x}} \cr {\lambda .{a_y}} \cr } } \right);\)
Zwei Vektoren \(\overrightarrow a ,\,\,\overrightarrow b \) sind dann zueinander parallel, wenn es genau einen Faktor \(\lambda\) gibt mit dem man die Richtungsvektoren \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{a_x}}\\ {{a_y}} \end{array}} \right)\) des einen Vektors in die Richtungsvektoren \(\left( {\begin{array}{*{20}{c}} {{b_x}}\\ {{b_y}} \end{array}} \right)\) des anderen Vektors durch Multiplikation umrechnen kann. In diesem Fall spricht man von linearer Abhängigkeit.
Lösungsweg
Damit die beiden Geraden g und h parallel zu einander sind, müssen die beiden Richtungsvektoren linear abhängig sein.
\(\begin{array}{l} \left( {\begin{array}{*{20}{c}} { - 2}\\ 1 \end{array}} \right) = \lambda \cdot \left( {\begin{array}{*{20}{c}} a\\ { - 2} \end{array}} \right)\\ \\ {\rm{Gl}}{\rm{.1}}: - 2 = \lambda \cdot a\\ {\rm{Gl}}{\rm{.2}}:1 = \lambda \cdot - 2 \Rightarrow \lambda = - 0,5\\ \\ {\rm{Gl}}{\rm{.1}}: - 2 = - 0,5 \cdot a\,\,\,\,\,\left| { \cdot \left( { - 2} \right)} \right.\\ 4 = a \end{array}\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
a=4
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt wird für die Angabe der Zahl 4 vergeben.