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Aufgabe 1058

AHS - 1_058 & Lehrstoff: AG 3.4
Quelle: Aufgabenpool für die SRP in Mathematik (12.2015)
​Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind

Streckenmittelpunkt

Man kann mithilfe der Geradengleichung \(X = A + t \cdot \overrightarrow {AB} {\text{ mit }}t \in \mathbb{R}\) den Mittelpunkt M der Strecke AB bestimmen.

Aufgabenstellung:
Geben Sie an, welchen Wert der Parameter t bei dieser Rechnung annehmen muss!

Lösungsweg

Wir machen eine Skizze und beschriften zweckmäßig.

Gerade f Gerade f: Linie A, B Vektor w Vektor w: Vektor(A, B) Vektor w Vektor w: Vektor(A, B) Punkt A A = (4, 9) Punkt A A = (4, 9) Punkt B B = (8, 11) Punkt B B = (8, 11) Punkt C C = (6, 10) Punkt C C = (6, 10) A Text1 = “A” B Text3 = “B” ${\overrightarrow {AB} }$ Text6 = “${\overrightarrow {AB} }$” ${\overrightarrow {AB} }$ Text6 = “${\overrightarrow {AB} }$” ${\overrightarrow {AB} }$ Text6 = “${\overrightarrow {AB} }$” ${\overrightarrow {AB} }$ Text6 = “${\overrightarrow {AB} }$” g Text2 = “g” M Text4 = “M”

  • Wir können der Skizze entnehmen, dass die Punkte A, B und M alle auf der Geraden g liegen.
  • M ist dabei der Mittelpunkt vom Vektor \(\overrightarrow {AB}\).
  • Für alle Punkte X auf der Geraden gilt: \(X = A + t \cdot \overrightarrow {AB}\)
  • Für den besonderen Punkt X=B auf der Geraden gilt: \(B = A + 1 \cdot \overrightarrow {AB}\)

 

Wie müssen wir nun den Skalar t wählen, damit wie folgt gilt: \(M = A + t \cdot \overrightarrow {AB} \) ?
Da M auf dem halben Weg zwischen A und B liegt, ist das, ausgehend von der Gleichung für X=B, recht einfach anzuschreiben: \(M = A + 0,5 \cdot \overrightarrow {AB}\)

t ist somit 0,5

Ergebnis

Die richtige Lösung lautet:
t=0,5

Lösungsschlüssel:
Der Wert für t muss korrekt angegeben sein.