Aufgabe 1861
Standardisierte kompetenzorientierte schriftliche Reifeprüfung Mathematik
Quelle: AHS Matura vom 17. September 2021 - Teil-1-Aufgaben - 8. Aufgabe
Angabe mit freundlicher Genehmigung vom Bundesministerium für Bildung; Lösungsweg: Maths2Mind
Erlösfunktion
Für ein bestimmtes Produkt kann der Zusammenhang zwischen der nachgefragten Menge x und dem Nachfragepreis p(x) durch die nachstehend dargestellte lineare Funktion p modelliert werden.
- x ... nachgefragte Menge in Mengeneinheiten (ME), 0 ≤ x ≤ 12
- p(x) ... Nachfragepreis bei der Menge x in Geldeinheiten pro Mengeneinheit (GE/ME)
Für die Erlösfunktion E gilt: E(x) = p(x) ∙ x.
Aufgabenstellung:
Stellen Sie eine Funktionsgleichung von E auf.
E(x) =
[0 / 1 P.]
Lösungsweg
Wegen des Zusammenhangs E(x) = p(x) ∙ x ermitteln wir zunächst die Preisfunktion der Nachfrage.
Die Preisfunktion der Nachfrage gibt den Zusammenhang zwischen dem Preis p eines Gutes und der nachgefragten (=abgesetzten) Menge xN an. Im Allgemeinen ist die Preisfunktion der Nachfrage streng monoton fallend. (Hoher Preis → geringe Nachfrage)
Die Gleichung für den Nachfragepreis p(x) ist in diesem Fall eine lineare Gleichung des Typs
\(f\left( x \right) = k \cdot x + d = \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta x}} \cdot x + d\)
Mit den Werten aus der Darstellung:
\(\eqalign{ & p\left( x \right) = \dfrac{{ - 3000}}{{12}} \cdot x + 3000 \cr & p\left( x \right) = - 250 \cdot x + 3000 \cr} \)
Für die Erlösfunktion ergibt sich somit:
\(\eqalign{ & E\left( x \right) = p\left( x \right) \cdot x = \cr & = \left( { - 250 \cdot x + 3000} \right) \cdot x \cr & E\left( x \right) = - 250 \cdot {x^2} + 3000 \cdot x \cr} \)
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Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(E\left( x \right) = - 250 \cdot {x^2} + 3000 \cdot x\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt für das richtige Aufstellen der Funktionsgleichung von E.