Aufgabe 102
Höhenschnittpunkt eines Dreieckes
Bestimme den Höhenschnittpunkt des Dreieckes, welches durch nachfolgende Punkte gebildet wird
\(A = \left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 4} \cr } } \right);\,\,\,\,\,B = \left( {\matrix{ {20} \cr 2 \cr } } \right);\,\,\,\,\,C = \left( {\matrix{ { - 4} \cr {10} \cr } } \right);\)
Lösungsweg
Die 3 Höhenlinien stehen in rechten Winkel auf je eine Dreiecksseite und gehen durch den gegenüberliegenden Eckpunkt. Dh wir werden 2 der 3 Höhenlinien berechnen. H liegt (als einziger Punkt) auf beiden Geraden, daher setzen wir die beiden Gleichungen gleich um dann die Koordinaten von H zu ermitteln.
Die Höhe hC steht im rechten Winkel auf die Seite AB und geht durch C:
\({h_c}:X = C + t \cdot \overrightarrow {{n_{AB}}} ;\)
\(\overrightarrow {AB} = B - A = \left( {\matrix{ {20} \cr 2 \cr } } \right) - \left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 4} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {20 + 2} \cr {2 + 4} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ {22} \cr 6 \cr } } \right);\)
Gemäß der "Links-Kipp-Regel" gilt:
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr } } \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow n _{_{{\rm{links}}}}} = \left( {\matrix{ { - {a_y}} \cr {{a_x}} \cr } } \right);\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {\matrix{ { - 6} \cr {22} \cr } } \right); \cr & {h_c}:X = C + t \cdot \overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {\matrix{ { - 4} \cr {10} \cr } } \right) + t \cdot \left( {\matrix{ { - 6} \cr {22} \cr } } \right); \cr}\)
Die Höhe ha steht im rechten Winkel auf die Seite BC und geht durch A:
\({h_a}:X = A + s \cdot \overrightarrow {{n_{BC}}} ;\)
\(\overrightarrow {BC} = C - B = \left( {\matrix{ { - 4} \cr {10} \cr } } \right) - \left( {\matrix{ {20} \cr 2 \cr } } \right) = \left( {\matrix{ { - 4 - 20} \cr {10 - 2} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ { - 24} \cr 8 \cr } } \right);\)
Gemäß der "Links-Kipp-Regel" gilt:
\(\overrightarrow a = \left( {\matrix{ {{a_x}} \cr {{a_y}} \cr } } \right);\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\overrightarrow n _{_{{\rm{links}}}}} = \left( {\matrix{ { - {a_y}} \cr {{a_x}} \cr } } \right);\)
\(\eqalign{ & \overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {\matrix{ { - 8} \cr { - 24} \cr } } \right); \cr & {h_a}:X = A + s \cdot \overrightarrow {{n_{BC}}} = \left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 4} \cr } } \right) + s\left( {\matrix{ { - 8} \cr { - 24} \cr } } \right); \cr}\)
H liegt (als einziger Punkt) auf beiden Geraden, daher setzen wir die Gleichungen gleich:
\(\eqalign{ & {h_c} \cap {h_a}:\left( {\matrix{ { - 4} \cr {10} \cr } } \right) + t \cdot \left( {\matrix{ { - 6} \cr {22} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ { - 2} \cr { - 4} \cr } } \right) + s \cdot \left( {\matrix{ { - 8} \cr { - 24} \cr } } \right); \cr & \cr & \matrix{ \hfill { - 4} & \hfill { - 6t} & \hfill = & \hfill { - 2} & \hfill { - 8s} \cr \hfill {10} & \hfill { - 22t} & \hfill = & \hfill { - 4} & \hfill { - 24s} \cr } \cr}\)
Wir multiplizieren die obere Gleichung mit 3, dann subtrahieren die obere von der unteren Gleichung
\(\eqalign{ & \matrix{ \hfill { - 12} & \hfill { - 18t} & \hfill = & \hfill { - 6} & \hfill { - 24s} \cr \hfill {10} & \hfill { + 22t} & \hfill = & \hfill { - 4} & \hfill { - 24s} \cr \hfill { - 22} & \hfill { - 40t} & \hfill = & \hfill { - 2} & \hfill {} \cr } \cr & 40t = - 22 + 2 = - 20 \Rightarrow t = - {{20} \over {40}} \Rightarrow t = - 0,5; \cr} \)
Wir kennen somit das „t“, welches wir in die Gleichung für hC einsetzen um daraus H zu erhalten:
\(H:{h_c}:X = C + t.\overrightarrow {{n_{AB}}} = \left( {\matrix{ { - 4} \cr {10} \cr } } \right) - 0,5 \cdot \left( {\matrix{ { - 6} \cr {22} \cr } } \right) = \left( {\matrix{ { - 4 + 3} \cr {10 - 11} \cr } } \right) \Rightarrow H = \left( {\matrix{ { - 1} \cr { - 1} \cr } } \right);\)
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(H = \left( {\matrix{ { - 1} \cr { - 1} \cr } } \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.