Die 4 Kegelschnitte: Kreis, Ellipse, Hyperbel und Parabel
Schneidet man einen nach oben und unten unbegrenzten Drehkegel mit einer Ebene, so erhält man abhängig von der Neigung der Ebene einen Kreis, eine Ellipse, eine Hyperbel oder eine Parabel
Gleichung der Ellipse
Die Ellipse ist die Menge aller Punkte P, die in einer Ebene liegen und für die die Summe ihrer Abstände von den zwei festen Punkten F1 und F2 (Brennpunkte) den konstanten Wert 2a hat. Die Stecken F1P bzw. F2P nennt man Brennstrecke.
\([ell = \left\{ {P \in ell:\overline {{F_1}P} + \left| {P{F_2}} \right| = 2a > \overline {{F_1}{F_2}} } \right\}\)
Die Brennstrecken sind die beiden Abstände eines Punkts auf der Ellipse von den beiden Brennpunkten der Ellipse. Die Summe der beiden Brennstrecken ist immer gleich lang wie die doppelte Hauptachse.
| A, B |
Hauptscheitel |
| C, D |
Nebenscheitel |
| a |
Hauptachse |
| b |
Nebenachse |
| F1, F2 |
Brennpunkte |
| e |
lineare Elastizität |
Ellipse in 1. Hauptlage
Eine Ellipse in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse.
Ellipsengleichung in 1. Hauptlage
\({b^2}{x^2} + {a^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
mit:
\(\begin{array}{l} \left| {\overline {AB} } \right| = 2a\\ \left| {\overline {CD} } \right| = 2b\\ e = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \end{array}\)
Abschnittsform der Ellipsengleichung in 1. Hauptlage
Eine Ellipse in 1. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der x-Achse.
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{a^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{b^2}}} = 1\)
Illustration einer Ellipse in 1. Hauptlage
Ellipse in 2. Hauptlage
Eine Ellipse in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse.
Ellipsengleichung in 2. Hauptlage
\({a^2}{x^2} + {b^2}{y^2} = {a^2}{b^2}\)
mit:
\(\begin{array}{l} \left| {\overline {AB} } \right| = 2a\\ \left| {\overline {CD} } \right| = 2b\\ e = \sqrt {{a^2} - {b^2}} \end{array}\)
Abschnittsform der Ellipsengleichung in 2. Hauptlage
Eine Ellipse in 2. Hauptlage hat die beiden Brennpunkte auf der y-Achse
\(\dfrac{{{x^2}}}{{{b^2}}} + \dfrac{{{y^2}}}{{{a^2}}} = 1\)
Illustration einer Ellipse in 2. Hauptlage