Elektrodynamik

Magnetische Feldstärke H

Magnetische Permeabilität

Dielektrizitätskonstante Epsilon

Elektrische Leitfähigkeit

elektrische Stromdichte S

Verknüpfungsbeziehungen zu den Maxwellgleichungen

Magnetisierung M

Elektrische Polarisation P

Magnetische Polarisation J

Elektrische Suszeptibilität X

Magnetische Feldkonstante

Elektrodynamik

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Lenz’sche Regel
Die induzierte Feldstärke ist immer so gerichtet, dass das Magnetfeld eines in einer gedachten Leiterschleife fließenden Stroms, dem erzeugenden Magnetfeld im Eisenkern entgegen gerichtet ist. Die am Ort der Leiterschleife vorhandene elektrische Wirbelfeldstärke \(\overrightarrow E\) ist eingeprägt - sie wird nicht von der Leiterschleife kurzgeschossen. Die Lenz’sche Regel liefert die Ursache für das negative Vorzeichen in der 2. Maxwell'schen Gleichung.

\(\mathop {{U_e}}\limits^o = \oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}} = - \dfrac{d}{{dt}}\int\limits_A {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow A = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}\,\,d\overrightarrow A } } \)

Lenz’sche Regel

Zweite Maxwellgleichung in Differentialform

Zweite Maxwellgleichung in Integralform

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Faraday’sches Induktionsgesetz
Ein sich zeitlich ändernder magnetischer Fluss \(\Phi\) (beispielsweise im Eisenkern eines Trafos) induziert in einer ihn umgebenden Leiterschleife eine elektrische Spannung U_e.

\(\oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}\,\,d\overrightarrow A } = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}} = \mathop {{U_e}}\limits^o \)

Die Induktionswirkung kommt zustande, weil zeitlich sich ändernde magnetische Flusslinien \(\dfrac{{d\Phi }}{{dt}}\) von einem elektrischen Wirbelfeld \(\overrightarrow E\) mit geschlossenen Feldlinien umgeben sind. Die induzierte elektrische Spannung U_eist der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) proportional und somit ein Maß für die Stärke der Wirbel des magnetischen Feldes, also von \(\Phi\) oder \(\overrightarrow B\) Linien im Eisenkreis. Das "Minuszeichen" ergibt sich zufolge der Lenzschen Regel.

Faraday'sches Induktionsgesetz

induzierte Spannung

Magnetischer Fluss Phi

Zweite Amperesches Gesetz

Lenz’sche Regel

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Durchflutungssatz auch 2. Ampere’sches Gesetz
Die magnetische Umlaufspannung längs eines geschlossenen Weges ist gleich der umfassten Durchflutung. Das Durchflutungsgesetz liefert den Zusammenhang von der Durchflutung mit dem magnetischen Feld.

\(\oint\limits_s {\overrightarrow H \cdot d\overrightarrow s } = \Theta = \int\limits_A {\overrightarrow I \cdot } d\overrightarrow A = {U_m}\)

Unter der Durchflutung \(\Theta = \int\limits_A {\overrightarrow I .d\overrightarrow A }\) „Theta“ einer von einer magnetischen Feldlinie abgeschlossenen Fläche versteht man den gesamten elektrischen Strom, der diese Fläche durchsetzt. Der eingeschlagene Integrationsweg ist dabei beliebig. Eine vorhandene magnetische Feldlinie muss stets eine Durchflutung, also einen elektrischen Strom in einem Leiter, umfassen.

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4 Formen der 4 Maxwell Gleichungen

Man unterscheidet folgende 4 Formen der Maxwellgleichungen:

nach der Art des Feldes:
- stationäres Feld: Die stationären Maxwellgleichungen gelten für zeitunabhängige Felder. Es kann das E und das B-Feld unabhängig voneinander betrachtet werden
- zeitlich rasch veränderliches Feld: Die dynamischen Maxwellgleichungen gelten auch für sich zeitlich rasch veränderliche Felder und sind eine Vervollständigung der statischen Maxwellgleichungen. Diese Formulierung der Maxwellgleichungen stellt ein System gekoppelter Differentialgleichungen dar.
nach der Schreibweise:
- Differentialform: Die Differentialform der Maxwellgleichungen geht von Wirbeldichte und Quellendichte aus.
- Integralform: Die Integralform der Maxwellgleichungen geht von Wirbelstärke und Quellenstärke aus.

Durch die Sätze von Stokes und Gauß können die Maxwellgleichungen aus der Integralform in die Differentialform gebracht werden.

Aus dem Stokeschen Satz folgt:
- \(\begin{array}{l} \oint\limits_{\partial A} {\overrightarrow E \cdot d\overrightarrow s } = \int\limits_A {\left( {\overrightarrow \nabla \times \overrightarrow E } \right)} \cdot d\overrightarrow A ;\\ \oint\limits_{\partial A} {\overrightarrow H \cdot d\overrightarrow s } = \int\limits_A {\left( {\overrightarrow \nabla \times \overrightarrow H } \right)} \cdot d\overrightarrow A ; \end{array}\)
Aus dem Gaußschen Satz folgt:
- \(\begin{array}{l} \oint\limits_A {\overrightarrow B } \cdot d\overrightarrow A = \int\limits_V {\left( {\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow B } \right)} \cdot dV;\\ \oint\limits_A {\overrightarrow D } \cdot d\overrightarrow A = \int\limits_V {\left( {\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow D } \right)} \cdot dV; \end{array}\)
mit der Ladung q als Volumensintegral der Ladungsdichte
- \(q = \int\limits_V {\rho \cdot dV} \)

Vier Maxwell Gleichungen

Maxwell Gleichungen für stationäre Felder

Maxwell Gleichungen für sich zeitlich rasch veränderliche Felder

Maxwell Gleichungen in der Differentialform

Maxwell Gleichungen in der Integralform

Stokesscher Integralsatz

Gaußscher Integralsatz

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Erste Maxwellgleichung in Differentialform
Solange sich ein elektrisches Feld ändert, ist es von ringförmig geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben. Magnetische Felder sind Wirbelfelder und entstehen im Raum um elektrische Ströme.

im stationären Feld:
\(\operatorname{rot} \overrightarrow H = \overrightarrow {{S_L}}\)
im sich zeitlich rasch verändernden Feld:
\(\operatorname{rot} \overrightarrow H = \overrightarrow {{S_L}} + \dfrac{{\partial \overrightarrow D }}{{\partial t}} = \varphi _{wahr}^{el}\overrightarrow v + \dfrac{{\partial \overrightarrow D }}{{\partial t}};\)

bzw.:

\(\operatorname{rot} \overrightarrow B = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow B = {\eta _0}\left( {\overrightarrow {{S_L}} + {\varepsilon _0}\dfrac{{\partial \overrightarrow E }}{{\partial t}}} \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{S_L}} }}{{{\varepsilon _0} \cdot {c^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\dfrac{{\partial \overrightarrow E }}{{\partial t}};\)

wobei:

\(\overrightarrow {{S_L}} \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in }}\dfrac{A}{m}\) … Leitungsstromdichte \(\overrightarrow {{S_L}} = \dfrac{{\overrightarrow E }}{{\varphi _{wahr}^{el}}}\)

\(\overrightarrow D = \varepsilon \cdot \overrightarrow E ;\)

\(\overrightarrow B = \mu \cdot \overrightarrow H \)

\({c_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {{\varepsilon _0} \cdot {\mu _0}} }};\)

Erste Maxwellgleichung in Differentialform

Magnetische Feldstärke H

Leitungstromdichte

wahre elektrische Ladung

Erste Maxwellgleichung in Integralform

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Erste Maxwellgleichung in Integralform bzw. zweites Ampere'sches Gesetz
Das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke \(\overrightarrow H\) längs des Randes einer Fläche ist gleich der Summe aus Leitungsstrom und Verschiebungsstrom

Berücksicht man zusätzlich zum Leitungsstrom auch den Maxwell’schen Verschiebungsstroms \(\dfrac{1}{{{c^2}}}\dfrac{\partial }{{\partial t}}\int {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow A } \) , so ergibt sich aus dem 2. Ampereschen Gesetz \(\int\limits_s {\overrightarrow H } \cdot d\overrightarrow s = \overrightarrow I \) (Das Linienintegral eines Magnetfeldes über eine Schleife ist proportional zum Strom durch die Schleife) die

1. Maxwellsche Gleichung in Integralform:

\(\oint\limits_s {\overrightarrow H \,\,d\overrightarrow s } = \overrightarrow I + \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow D }}{{dt}}} \,\,d\overrightarrow A \)

\(\oint {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow s } = {\mu _0}I + \dfrac{1}{{{c^2}}}\dfrac{\partial }{{\partial t}}\int {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow A } ;\)

Maxwells zentraler Beitrag zur Elektrodynamik war die Erkenntniss, dass sich der Gesamtstrom aus einem Leitungsstrom (oder Ladungsstrom) UND einem Verschiebungsstrom zusammen setzt, wobei:

\(\overrightarrow I \) .. Leitungsstrom,
\(\int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow D }}{{dt}}} \,\,d\overrightarrow A \) ... Verschiebungsstrom, er hat vor allem bei hohen Frequenzen praktische Bedeutung

Maxwell'scher Verschiebungsstrom

Magnetische Feldstärke H

Zweite Amperesches Gesetz

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Zweite Maxwellgleichung in Differentialform
Solange sich ein Magnetfeld ändert, ist es von ringförmig geschlossenen elektrischen Feldlinien umgeben.

im stationären Feld:
\(\operatorname{rot} \overrightarrow E = 0\)
im sich zeitlich rasch verändernden Feld:
\(\operatorname{rot} \overrightarrow E = - \dfrac{{\partial \overrightarrow B }}{{\partial t}}\)

Zweite Maxwellgleichung in Differentialform

Zweite Maxwellgleichung in Integralform

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Zeite Maxwellgleichung in Integralform
Das Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke längs des Randes einer Fläche ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch diese Fläche. Die Lenz’sche Regel liefert die Ursache für das negative Vorzeichen.

\(\oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}\,\,d\overrightarrow A } \)

Änderungen der magnetischen Flussdichte B erzeugen ein elektrisches Feld E von gleichem Betrag aber umgekehrten Vorzeichen.

Bereits das Faraday'sche Gesetz \({U_{ind}} = \oint {\overrightarrow E \cdot d\overrightarrow s } = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}}\)besagt, dass die zeitliche Änderung eines magnetischen Flusses in einer Leiterschleife einen proportionale Spannung induziert.

Faraday'sches Induktionsgesetz

Lenz’sche Regel

Dritte Maxwellgleichung in Differentialform

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Dritte Maxwellgleichung in Differentialform
Elektrische Felder sind Quellenfelder, deren Quellen die elektrischen Ladungen sind.

im stationären Feld:
\(\operatorname{div} \overrightarrow D = \varphi _{wahr}^{el}\)
im sich zeitlich rasch verändernden Feld:
\(\operatorname{div} \overrightarrow E = \dfrac{\rho }{{{\varepsilon _0}}};\)

mit:

\(\rho\)	wahre elektrische Ladungsdichte
D	elektrische Flussdichte

wobei: \(\overrightarrow D = \varepsilon \cdot \overrightarrow E ;\)

wahre elektrische Ladung

Dritte Maxwellgleichung in Integralform

Elektrische Ladung Q

Quelle eines Feldes

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Dritte Maxwellgleichung in Integralform
Ladungen Q sind die Quellen des elektrischen Feldes.

\(\oint\limits_A {\overrightarrow D \,\,d\overrightarrow A } = Q\)

\(\oint {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow A = \dfrac{Q}{{{\varepsilon _0}}}}\)

Der Gauß’sche Satz stellt den Zusammenhang her zwischen der von einer Fläche eingeschlossenen Ladung und der elektrischen Feldstärke auf einem Punkt einer die Ladung umgebenden Gauß’schen Fläche dar.

wobei:

\(\overrightarrow A\) ist jener Flächenvektor, der senkrecht auf die Oberfläche steht und nach außen zeigt.
\(\oint {d\overrightarrow A }\) ist das Flächenintegral über die geschlossene Oberfläche, somit über die Hülle des Voumens
\(\oint {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow A }\) Fluß des E-Vektorfeldes durch die Oberfläche A

Der Fluss \(\Psi\) eines elektrischen Feldes durch eine geschlossene gauß‘sche Fläche ist proportional zur eingeschlossenen Ladung.

\(\Psi = 0\) keine Ladung eingeschlossen,
\(\Psi \ne 0\) Ladung eingeschlossen

Der Gauß’sche Satz für die elektrische Feldstärke sagt somit aus, dass wenn das Flächenintegral positiv /negativ ist, die Summe der von der Oberfläche eingeschlossenen Ladung positiv / negativ sein muss. Positive Ladungen sind daher die Quellen des elektrischen Feldes, und negative Ladungen sind dessen Senken.

Gaußscher Satz für die elektrische Feldstärke

Elektrische Ladung Q