Elektrodynamik

Bedeutung der Maxwell-Gleichungen für die Physik

Maxwell beschrieb wie elektrische und magnetische Felder durch Ladungen und Ströme erzeugt werden und wie sie sich bei zeitlicher Veränderung gegenseitig bedingen.

Dies führte zunächst

• 1873 zu einer Vereinheitlichung elektrischer und magnetischer Phänomene,
• zur Vorhersage der elektromagnetischen Welle durch Hertz 1886, weiters
• zur Herleitung der speziellen Relativitätstheorie 1905 durch Einstein, weiters
• 1940 zur Quantenelektrodynamik und durch
• Einbeziehung der schwachen Wechselwirkung 1964 zur elektroschwachen Wechselwirkung.

Indem auch noch die starke Wechselwirkung eingebunden wurde, entstand das Standardmodell der Teilchenphysik, welches seit der Entdeckung des Higgs-Bosons 2012 als abgeschlossen gilt.

Sollte es zukünftig gelingen auch noch die Gravitation und somit die Allgemeine Relativitätstheorie mit einzubeziehen, hätte man alle 4 fundamentalen Wechselwirkungen in einer Quantengravitationstheorie vereint. Die heute vielversprechendsten Ansätze dafür sind die Supersymmetrie und die Stringtheorie.

Elektrodynamik

Die Elektrodynamik ist eine Feldtheorie für das elektrische und das magnetische Feld, wobei zu jedem Zeitpunkt t und an jedem Raumpunkt \(\overrightarrow x\) je ein Vektor D-E-B-H definiert ist. Die 4 maxwellschen Gleichungen bilden die Basis der Theorie des elektromagnetischen Feldes.

Die Elektrodynamik beschreibt einen von den 4 vektoriellen Feldgrößen D-E-B-H erfüllten Raum.

• elektrisches Feld:
  \(\overrightarrow E \left( {\overrightarrow x ,t} \right)\,{\text{ in }}\dfrac{V}{m}{\text{ bzw}}{\text{. }}\overrightarrow D \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in }}\dfrac{C}{{{m^2}}}\)
• magnetisches Feld
  \(\overrightarrow H \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in }}\dfrac{A}{m}{\text{ bzw}}{\text{. }}\overrightarrow B \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in T}}\)

Die 4 Feldgrößen D-E-B-H sind durch 3 Materialgleichungen mittels elektrischer bzw. magnetischer Feldkonstante und mittels der elektrischen Leitfähigkeit mit einander verknüpft:

• \(\overrightarrow S = \kappa \cdot \overrightarrow E\) …\(\kappa\) = elektrische Leitfähigkeit ("Kappa") \(\left[ \kappa \right] = \dfrac{A}{{Vm}}\)
• \(\overrightarrow B = \mu \cdot \overrightarrow H\) … \(\mu\) = Permeabilität = magnetische Feldkonstante ("Mü") \(\left[ \mu \right] = \dfrac{{Vs}}{{Am}}\)
• \(\overrightarrow D = \varepsilon \cdot \overrightarrow E\) … \(\varepsilon\) = elektrische Feldkonstante ("Epsilon") \(\left[ \varepsilon \right] = \dfrac{C}{{Vm}}\)

Verknüpfungsbeziehungen zu den Maxwellgleichungen

• im stationären Feld:
  \(\eqalign{ & \overrightarrow D = {\varepsilon _0}\overrightarrow E + \overrightarrow P \cr & \overrightarrow B = {\mu _0}\overrightarrow H + {\mu _0}\overrightarrow M = {\mu _0}\overrightarrow H + \overrightarrow J \cr} \)

• im sich zeitlich rasch verändernden Feld:
  \(\eqalign{ & \overrightarrow D = \varepsilon \cdot \overrightarrow E \cr & \overrightarrow B = \mu \cdot \overrightarrow H \cr} \)

Ohmsches Gesetz des stationären Strömungsfeldes

\(\overrightarrow S = \kappa \cdot \overrightarrow E \)

• Anmerkung: \(\overrightarrow S = \overrightarrow J \) .. elektrische Stromdichte S (oft auch mit J bezeichnet - wir verwenden J jedoch für die magnetische Polarisation), ist der Quotient aus Stromstärke I und Leiterquerschnittsfläche A
• \(\left[ S \right] = \dfrac{{\left[ I \right]}}{{\left[ A \right]}} = \dfrac{A}{{{m^2}}}\)
• \(\kappa \) ... Die elektrische Leitfähigkeit (sprich "Kappa") repräsentiert die "Reibung" der bewegten Ladungsträger am Ionengitter des Leitermaterials

Weitere wichtige physikalische Größen der Elektrodynamik

• ​\(\overrightarrow P \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in }}\dfrac{C}{{{m^2}}}\)… elektrische Polarisation: In Materie ist die elektrische Polarisation zusätzlich zu den wahren elektrischen Ladungen eine Quelle der elektrischen Feldstärke, da in in Summe elektrisch neutraler Materie Oberflächenladungen das elektrische Feld im Inneren des Körpers abschwächen.
  • Anmerkung zur elektrischen Polarisation \(\overrightarrow P\)
    • \(\eqalign{ & \overrightarrow P = {{\rm X}_e} \cdot {\varepsilon _0} \cdot \overrightarrow E \cr & \overrightarrow D = {\varepsilon _0} \cdot \overrightarrow E + \overrightarrow P \cr} \)
• \(\overrightarrow M \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in }}\dfrac{A}{m}\) … Magnetisierung
• \(\overrightarrow J \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in T}}\)… magnetische Polarisation
• \({{\rm X}_e}\) ... elektrische Suszeptibilität, dimensionslose Polarisationskonstante

4 Formen der 4 Maxwell Gleichungen

Man unterscheidet folgende 4 Formen der Maxwellgleichungen:

• nach der Art des Feldes:
  • stationäres Feld: Die stationären Maxwellgleichungen gelten für zeitunabhängige Felder. Es kann das E und das B-Feld unabhängig voneinander betrachtet werden
  • zeitlich rasch veränderliches Feld: Die dynamischen Maxwellgleichungen gelten auch für sich zeitlich rasch veränderliche Felder und sind eine Vervollständigung der statischen Maxwellgleichungen. Diese Formulierung der Maxwellgleichungen stellt ein System gekoppelter Differentialgleichungen dar.
     
• nach der Schreibweise:
  
  • Differentialform: Die Differentialform der Maxwellgleichungen geht von Wirbeldichte und Quellendichte aus.
  • Integralform: Die Integralform der Maxwellgleichungen geht von Wirbelstärke und Quellenstärke aus.

Wellengleichung der elektromagnetischen Welle

Veränderliche elektrische und magnetische Felder erzeugen einander gegenseitig. Die Lösungen der nachfolgend beschriebenen Wellengleichung für das elektrische und das magnetische Feld beschreiben die Ausbreitung von elektromagnetischen Feldern als Wellen mit Lichtgeschwindigkeit im Vakuum. Aus diesen Wellengleichungen ist die Kopplung zwischen E und B im Unterschied zu den Maxwell Gleichungen jedoch nicht mehr ersichtlich.

\(\eqalign{ & \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow E }}{{\partial {t^2}}} = {{\text{c}}^2} \cdot \Delta \overrightarrow E = \dfrac{1}{{{\mu _0}{\varepsilon _0}}} \cdot \Delta \overrightarrow E \cr & \dfrac{{{\partial ^2}\overrightarrow B }}{{\partial {t^2}}} = {c^2} \cdot \Delta \overrightarrow B = \dfrac{1}{{{\mu _0}{\varepsilon _0}}} \cdot \Delta \overrightarrow B \cr} \)

Durch die Sätze von Stokes und Gauß können die Maxwellgleichungen aus der Integralform in die Differentialform gebracht werden.

• Aus dem Stokeschen Satz folgt:
  • \(\begin{array}{l} \oint\limits_{\partial A} {\overrightarrow E \cdot d\overrightarrow s } = \int\limits_A {\left( {\overrightarrow \nabla \times \overrightarrow E } \right)} \cdot d\overrightarrow A \\ \oint\limits_{\partial A} {\overrightarrow H \cdot d\overrightarrow s } = \int\limits_A {\left( {\overrightarrow \nabla \times \overrightarrow H } \right)} \cdot d\overrightarrow A \end{array}\)
     
• Aus dem Gaußschen Satz folgt:
  
  • \(\begin{array}{l} \oint\limits_A {\overrightarrow B } \cdot d\overrightarrow A = \int\limits_V {\left( {\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow B } \right)} \cdot dV\\ \oint\limits_A {\overrightarrow D } \cdot d\overrightarrow A = \int\limits_V {\left( {\overrightarrow \nabla \cdot \overrightarrow D } \right)} \cdot dV \end{array}\)
     
• mit der Ladung q als Volumensintegral der Ladungsdichte
  
  • \(q = \int\limits_V {\rho \cdot dV} \)

Erforderliches Vorwissen zum Verständnis der 4 maxwellschen Gleichungen

Nachfolgend fassen wir einige Regeln zu elektromagnetischen Feldern zusammen, die Maxwell zu den nach ihm benannten Gleichungen veranlasst haben

Lenzsche Regel

Die induzierte Feldstärke ist immer so gerichtet, dass das Magnetfeld eines in einer gedachten Leiterschleife fließenden Stroms, dem erzeugenden Magnetfeld im Eisenkern entgegen gerichtet ist. Die am Ort der Leiterschleife vorhandene elektrische Wirbelfeldstärke \(\overrightarrow E\) ist eingeprägt - sie wird nicht von der Leiterschleife kurzgeschossen. Die lenzsche Regel liefert die Ursache für das negative Vorzeichen in der 2. maxwellschen Gleichung.

\(\mathop {{U_e}}\limits^o = \oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}} = - \dfrac{d}{{dt}}\int\limits_A {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow A = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}\,\,d\overrightarrow A } } \)

Faradaysches Induktionsgesetz

Ein sich zeitlich ändernder magnetischer Fluss \(\Phi\) (beispielsweise im Eisenkern eines Trafos) induziert in einer ihn umgebenden Leiterschleife eine elektrische Spannung U_e.

\(\oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}\,\,d\overrightarrow A } = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}} = \mathop {{U_e}}\limits^o \)

Die Induktionswirkung kommt zustande, weil zeitlich sich ändernde magnetische Flusslinien \(\dfrac{{d\Phi }}{{dt}}\) von einem elektrischen Wirbelfeld \(\overrightarrow E\) mit geschlossenen Feldlinien umgeben sind. Die induzierte elektrische Spannung U_e ist der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) proportional und somit ein Maß für die Stärke der Wirbel des magnetischen Feldes, also von \(\Phi\) oder \(\overrightarrow B\) Linien im Eisenkreis. Das "Minuszeichen" ergibt sich zufolge der Lenzschen Regel.

Durchflutungsgesetz bzw. zweites amperesches Gesetz

Die magnetische Umlaufspannung längs eines geschlossenen Weges ist gleich der umfassten Durchflutung. Das Durchflutungsgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der magnetischen Durchflutung und dem verursachenden Strom. Er besagt, dass geschlossene magnetische Feldlinien von einem Strom durchflossen bzw. durchflutet werden, bzw umgekehrt formuliert dass ein elektrischer Strom von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben ist. Das zweite ampersche Gesetz bildet für den Magnetismus eine Analogie zum Induktionsgesetz.

\(\Theta = \oint\limits_s {\overrightarrow H \cdot d\overrightarrow s } = \int\limits_A {\overrightarrow S \cdot } d\overrightarrow A = \sum\limits_n {{I_n}} = {U_m}\)

Unter der Durchflutung \(\Theta = \int\limits_A {\overrightarrow S .d\overrightarrow A }\) „Theta“ einer von einer magnetischen Feldlinie abgeschlossenen Fläche versteht man den gesamten elektrischen Strom, der diese Fläche durchsetzt. Der eingeschlagene Integrationsweg ist dabei beliebig. Eine vorhandene magnetische Feldlinie muss stets eine Durchflutung, also einen elektrischen Strom in einem Leiter, umfassen.

Magnetische Durchflutung einer Spule mit n Windungen

\(\Theta = n \cdot I\)

• Anmerkung: S=J .. elektrische Stromdichte S (oft auch mit J bezeichnet - wir verwenden J jedoch für die magnetische Polarisation), ist der Quotient aus Stromstärke I und Leiterquerschnittsfläche A
• Anmerkung: Das erste amperesche Gesetz behandelt die Lorenzkraft

Elektrischer Hüllenfluss

Der Satz vom elektrischen Hüllenfluss besagt, dass der durch eine Fläche austretende Fluss, gleich der im Volumen eingeschlossenen Ladung ist.

\(\mathop \psi \limits^o = \oint\limits_A {\overrightarrow D } \,\,d\overrightarrow A = \int\limits_V {\operatorname{div} \overrightarrow D \,\,dV} = \int \varphi \,\,dV = \sum\limits_{k = 1}^n {{Q_k}} \)

In obiger Gleichung kommt der gaußsche Integralsatz zur Anwendung.

Erste Maxwellgleichung in Differentialform

Solange sich ein elektrisches Feld ändert, ist es von ringförmig geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben. Magnetische Felder sind Wirbelfelder und entstehen im Raum um elektrische Ströme.

Die erste Maxwellgleichung in Differentialform im stationären Feld lautet

\(\operatorname{rot} \overrightarrow H = \overrightarrow {{S_L}}\)

Die erste Maxwellgleichung im sich zeitlich rasch verändernden Feld lautet

\(\operatorname{rot} \overrightarrow H = \overrightarrow {{S_L}} + \dfrac{{\partial \overrightarrow D }}{{\partial t}} = \varphi _{wahr}^{el}\overrightarrow v + \dfrac{{\partial \overrightarrow D }}{{\partial t}}\)
bzw.:
\(\operatorname{rot} \overrightarrow B = \overrightarrow \nabla \times \overrightarrow B = {\eta _0}\left( {\overrightarrow {{S_L}} + {\varepsilon _0}\dfrac{{\partial \overrightarrow E }}{{\partial t}}} \right) = \dfrac{{\overrightarrow {{S_L}} }}{{{\varepsilon _0} \cdot {c^2}}} + \dfrac{1}{{{c^2}}}\dfrac{{\partial \overrightarrow E }}{{\partial t}}\)​

wobei:

\(\overrightarrow {{S_L}} \left( {\overrightarrow x ,t} \right){\text{ in }}\dfrac{A}{m}\) … Leitungsstromdichte \(\overrightarrow {{S_L}} = \dfrac{{\overrightarrow E }}{{\varphi _{wahr}^{el}}}\)

\(\overrightarrow D = \varepsilon \cdot \overrightarrow E \)

\(\overrightarrow B = \mu \cdot \overrightarrow H \)

\({c_0} = \dfrac{1}{{\sqrt {{\varepsilon _0} \cdot {\mu _0}} }}\)

Erste Maxwellgleichung in Integralform

Wir erinnern uns zunächst an das zweite ampersches Gesetz, welches auch Durchflutungsgesetz genannt wird und das besagt, dass das Linienintegral eines Magnetfeldes über eine Schleife proportional zum Strom durch die Schleife ist. Das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke \(\overrightarrow H\) längs des Randes einer Fläche ist gleich der Summe aller Leitungsströme I.

\(\int\limits_s {\overrightarrow H } \cdot d\overrightarrow s = \overrightarrow I \)

Erste Maxwellgleichung in Integralform

Das Umlaufintegral der magnetischen Feldstärke längs des Randes einer Fläche ist gleich der Summe aus Leitungsstrom und Verschiebungsstrom. Maxwells zentraler Beitrag zur Elektrodynamik war die Erkenntniss, dass sich der Gesamtstrom aus einem Leitungsstrom (Bewegung elektrischer Ladungsträger wie Elektronen oder Ionen) UND einem Verschiebungsstrom (Verursacht durch die zeitliche Änderung der elektrischen Flussdichte D) zusammen setzt. Berücksicht im 2. amperschen Gesetz zusätzlich zum Leitungsstrom daher auch den maxwellschen Verschiebungsstrom \(\dfrac{1}{{{c^2}}}\dfrac{\partial }{{\partial t}}\int {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow A } \) so ergibt sich die erste maxwellsche Gleichung wie folgt:

\(\oint\limits_s {\overrightarrow H \,\,d\overrightarrow s } = \overrightarrow I + \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow D }}{{dt}}} \,\,d\overrightarrow A \)

\(\oint {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow s } = {\mu _0}I + \dfrac{1}{{{c^2}}}\dfrac{\partial }{{\partial t}}\int {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow A } \)

mit:

Zweite Maxwellgleichung in Differentialform

Solange sich ein Magnetfeld ändert, ist es von ringförmig geschlossenen elektrischen Feldlinien umgeben.

Die erste Maxwellgleichung im stationären Feld lautet

\(\operatorname{rot} \overrightarrow E = 0\)

Die erste Maxwellgleichung im sich zeitlich rasch verändernden Feld lautet

\(\operatorname{rot} \overrightarrow E = - \dfrac{{\partial \overrightarrow B }}{{\partial t}}\)

Zweite Maxwellgleichung in Integralform

Wir erinnern uns zunächst an das faradaysche Induktionsgesetz \({U_{ind}} = \oint {\overrightarrow E \cdot d\overrightarrow s } = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}}\) welches besagt, dass die zeitliche Änderung eines magnetischen Flusses in einer Leiterschleife einen proportionale Spannung, die sogenannte Umlaufspannung induziert.

2. Maxwellgleichung in Integralform

Die 2. Maxwellgleichung besagt ebenfalls, dass Änderungen der magnetischen Flussdichte B ein elektrisches Feld E von gleichem Betrag aber umgekehrten Vorzeichen erzeugen. Das Umlaufintegral der elektrischen Feldstärke längs des Randes einer Fläche ist gleich der negativen zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses durch diese Fläche. Die lenzsche Regel liefert die Ursache für das negative Vorzeichen.

\(\oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}\,\,d\overrightarrow A } \)

Dritte Maxwellgleichung in Differentialform

Elektrische Felder sind Quellenfelder, deren Quellen die elektrischen Ladungen sind.

Die dritte Maxwellgleichung im stationären Feld besagt

\(\operatorname{div} \overrightarrow D = \varphi _{wahr}^{el}\)

Die dritte Maxwellgleichung im sich zeitlich rasch verändernden Feld besagt

\(\operatorname{div} \overrightarrow E = \dfrac{\rho }{{{\varepsilon _0}}}\)

mit:

wobei: \(\overrightarrow D = \varepsilon \cdot \overrightarrow E \)

Dritte Maxwellgleichung in Integralform

Die dritte Maxwellgleichung besagt, dass Ladungen Q die Quellen des elektrischen Feldes sind.

\(\oint\limits_A {\overrightarrow D \,\,d\overrightarrow A } = Q\)

\(\oint {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow A = \dfrac{Q}{{{\varepsilon _0}}}}\)

Gaußscher Integralsatz für die elektrische Feldstärke

Der gaußsche Satz stellt den Zusammenhang her zwischen der von einer Fläche eingeschlossenen Ladung und der elektrischen Feldstärke auf einen Punkt einer die Ladung umgebenden gaußschen Fläche.

wobei:

• \(\overrightarrow A\) ist jener Flächenvektor, der senkrecht auf die Oberfläche steht und nach außen zeigt.
• \(\oint {d\overrightarrow A }\) ist das Flächenintegral über die geschlossene Oberfläche, somit über die Hülle des Volumens
• \(\oint {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow A }\) Fluß des E-Vektorfeldes durch die Oberfläche A

Der Fluss \(\Psi\) eines elektrischen Feldes durch eine geschlossene gaußsche Fläche ist proportional zur eingeschlossenen Ladung.

• \(\Psi = 0\) keine Ladung eingeschlossen,
• \(\Psi \ne 0\) Ladung eingeschlossen

Der gaußsche Satz für die elektrische Feldstärke sagt somit aus, dass wenn das Flächenintegral positiv /negativ ist, die Summe der von der Oberfläche eingeschlossenen Ladung positiv / negativ sein muss. Positive Ladungen sind daher die Quellen des elektrischen Feldes, und negative Ladungen sind dessen Senken.

Vierte Maxwellgleichung in Differentialform

Die viere Maxwellgleichung besagt, dass magnetische Felder immer quellenfrei sind. Es gibt keine magnetischen Ladungen und keine magnetischen Monopole. Magnetische Feldlinien sind entweder in sich  geschlossen oder sie winden sich unendlich, ohne in sich zurück zulaufen..

Die vierte Maxwellgleichung im stationären Feld lautet

\(\operatorname{div} \overrightarrow B = 0\)

Die vierte Maxwellgleichung im sich zeitlich rasch verändernden Feld lautet

\(\operatorname{div} \overrightarrow B = 0\)

Vierte Maxwellgleichung in Integralform

Die vierte Maxwellgleichung in Integralform besagt, dass Magnetfelder keine Quellen oder Senken haben, da es keine magnetischen Monopole gibt und dass magnetische Feldlinien entweder in sich  geschlossen sind oder sie winden sich unendlich, ohne in sich zurückzulaufen. Der magnetische Fluss durch jede geschlossene Hüllfläche wird zu Null.

\(\oint\limits_A {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow A } = 0\)