Erforderliches Vorwissen zum Verständnis der 4 maxwellschen Gleichungen
Nachfolgend fassen wir einige Regeln zu elektromagnetischen Feldern zusammen, die Maxwell zu den nach ihm benannten Gleichungen veranlasst haben
Lenzsche Regel
Die induzierte Feldstärke ist immer so gerichtet, dass das Magnetfeld eines in einer gedachten Leiterschleife fließenden Stroms, dem erzeugenden Magnetfeld im Eisenkern entgegen gerichtet ist. Die am Ort der Leiterschleife vorhandene elektrische Wirbelfeldstärke \(\overrightarrow E\) ist eingeprägt - sie wird nicht von der Leiterschleife kurzgeschossen. Die lenzsche Regel liefert die Ursache für das negative Vorzeichen in der 2. maxwellschen Gleichung.
\(\mathop {{U_e}}\limits^o = \oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}} = - \dfrac{d}{{dt}}\int\limits_A {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow A = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}\,\,d\overrightarrow A } } \)
Faradaysches Induktionsgesetz
Ein sich zeitlich ändernder magnetischer Fluss \(\Phi\) (beispielsweise im Eisenkern eines Trafos) induziert in einer ihn umgebenden Leiterschleife eine elektrische Spannung Ue.
\(\oint\limits_s {\overrightarrow E \,\,d\overrightarrow s } = - \int\limits_A {\dfrac{{d\overrightarrow B }}{{dt}}\,\,d\overrightarrow A } = - \dfrac{{d\Phi }}{{dt}} = \mathop {{U_e}}\limits^o \)
Die Induktionswirkung kommt zustande, weil zeitlich sich ändernde magnetische Flusslinien \(\dfrac{{d\Phi }}{{dt}}\) von einem elektrischen Wirbelfeld \(\overrightarrow E\) mit geschlossenen Feldlinien umgeben sind. Die induzierte elektrische Spannung Ue ist der zeitlichen Änderung des magnetischen Flusses \(\Phi\) proportional und somit ein Maß für die Stärke der Wirbel des magnetischen Feldes, also von \(\Phi\) oder \(\overrightarrow B\) Linien im Eisenkreis. Das "Minuszeichen" ergibt sich zufolge der Lenzschen Regel.
Durchflutungsgesetz bzw. zweites amperesches Gesetz
Die magnetische Umlaufspannung längs eines geschlossenen Weges ist gleich der umfassten Durchflutung. Das Durchflutungsgesetz beschreibt den Zusammenhang zwischen der magnetischen Durchflutung und dem verursachenden Strom. Er besagt, dass geschlossene magnetische Feldlinien von einem Strom durchflossen bzw. durchflutet werden, bzw umgekehrt formuliert dass ein elektrischer Strom von geschlossenen magnetischen Feldlinien umgeben ist. Das zweite ampersche Gesetz bildet für den Magnetismus eine Analogie zum Induktionsgesetz.
\(\Theta = \oint\limits_s {\overrightarrow H \cdot d\overrightarrow s } = \int\limits_A {\overrightarrow S \cdot } d\overrightarrow A = \sum\limits_n {{I_n}} = {U_m}\)
| S |
Stromdichte, Vektor in Richtung vom Stromfluss |
| I |
felderzeugender Strom, Einheit Ampere |
| H |
magnetische Feldstärke, Einheit A/m |
| Um,\(\Theta\) |
magnetische Umlaufspannung, sprich "Theta" , Einheit Ampere |
Unter der Durchflutung \(\Theta = \int\limits_A {\overrightarrow S .d\overrightarrow A }\) „Theta“ einer von einer magnetischen Feldlinie abgeschlossenen Fläche versteht man den gesamten elektrischen Strom, der diese Fläche durchsetzt. Der eingeschlagene Integrationsweg ist dabei beliebig. Eine vorhandene magnetische Feldlinie muss stets eine Durchflutung, also einen elektrischen Strom in einem Leiter, umfassen.
Magnetische Durchflutung einer Spule mit n Windungen
\(\Theta = n \cdot I\)
- Anmerkung: S=J .. elektrische Stromdichte S (oft auch mit J bezeichnet - wir verwenden J jedoch für die magnetische Polarisation), ist der Quotient aus Stromstärke I und Leiterquerschnittsfläche A
- Anmerkung: Das erste amperesche Gesetz behandelt die Lorenzkraft
Elektrischer Hüllenfluss
Der Satz vom elektrischen Hüllenfluss besagt, dass der durch eine Fläche austretende Fluss, gleich der im Volumen eingeschlossenen Ladung ist.
\(\mathop \psi \limits^o = \oint\limits_A {\overrightarrow D } \,\,d\overrightarrow A = \int\limits_V {\operatorname{div} \overrightarrow D \,\,dV} = \int \varphi \,\,dV = \sum\limits_{k = 1}^n {{Q_k}} \)
In obiger Gleichung kommt der gaußsche Integralsatz zur Anwendung.