Das magnetische Feld
Sind in einem Raum bewegte elektrische Ladungen vorhanden, so verursachen diese bewegten Ladungen die Ausbildung eines magnetischen Feldes \(\overrightarrow H\). In Dauermagneten fließen diese das Magnetfeld verursachenden Ströme in Form von bewegten Elektronen auf atomarer Ebene. Das Erdmagnetfeld wird durch die Bewegung von flüssiger leitfähiger Metallschmelze im Erdkern, in einem natürlich vorhandenem Initialfeld, induziert. Zufolge des magnetischen Feldes wirkt auf bewegte geladene Teilchen die sogenannte Lorentzkraft FL.
| \({\overrightarrow H }\) |
magnetische Feldstärke, magnetische Erregung |
\({A/m}\) |
| \({\overrightarrow B }\) |
magnetische Flussdichte, magnetische Induktion |
\(T\) |
| \(n\) |
Anzahl der Windungen der Spule |
1 |
| \(\mu\) |
magnetische Feldkonstante, magnetische Durchlässigkeit bzw. magn. Permeabilität, Proportionalitätskonstante zwischen magnetischer Flussdichte und magnetischer Feldstärke |
\(\dfrac{{Vs}}{{Am}}\) |
| \({{\mu _0}}\) |
magnetische Feldkonstante im Vakuum |
\(\dfrac{{Vs}}{{Am}}\) |
| \({{\mu _r}}\) |
relative Permeabilität |
1 |
| \(I\) |
elektrische Stromstärke im Leiter |
A |
| \(l{_{Spule}}\) |
Länge der Spule |
m |
Magnetische Feldlinien
Magnete und bewegte elektrische Ladungen, etwa in Form eines stromdurchflossenen Leiters, sind von einem magnetischen Feld \(\overrightarrow H\) umgeben. Stromfluss verändert nämlich den umgebenden Raum, indem er dort ein magnetisches Feld erzeugt.
Magnetische Feldlinien zeigen den Verlauf des Feldes, wobei magnetische Feldlinien immer geschlossen sind, man spricht daher von einem sogenannten Wirbelfeld. Es gibt keine offenen - also nur geschlossene - magnetischen Feldlinien, weil ein Wirbelfeld keine Quellen und keine Senken hat. Magnetische Feldlinien verlaufen in Richtung vom Nord- zum Südpol.
Die Dichte der Feldlinien (also wie eng oder weit die Feldlinien auseinander liegen) ist ein Maß für die Feldstärke.
Magnetische Feldstärke H
Die magnetische Feldstärke \(\overrightarrow H\) oder auch magnetische Erregung ist ein Maß für die örtlich herrschende magnetische Kraft. Ihre Ursache sind elektrische Ströme. Ihre Einheit ist das Ampere pro Meter \(\left[ H \right] = \dfrac{A}{m}\)
- Die 1. Maxwell’sche Gleichung \({\mathop{\rm rot}\nolimits} \overrightarrow H = \overrightarrow {{S_L}} \left( { + \dfrac{{\partial D}}{{\partial t}}} \right)\) zeigt, dass die Stromdichte \(\overrightarrow {{S_L}}\) die Ursache von geschlossenen magnetischen Feldlinien ist.
- Die 4. Maxwell’sche Gleichung \({\mathop{\rm div}\nolimits} \overrightarrow B = 0\) besagt, dass es keine offenen magnetischen Feldlinien gibt.
Magnetische Flussdichte B
Die magnetische Flussdichte \({\overrightarrow B }\) ist ein vektorielles Maß für die örtliche Intensität des Magnetfeldes, zufolge einer magnetischen Feldstärke \( \overrightarrow H\) . Die beiden Größen sind im Vakuum über die magnetische Feldkonstante \({\mu _0}\) verknüpft. Die magnetische Feldkonstante \(\mu={\mu _r} \cdot {\mu _0}\) ist ein Maß für die Durchlässigkeit eines Materials für magnetische Felder.
\(\eqalign{ & \overrightarrow B = {\mu _r} \cdot {\mu _0} \cdot \overrightarrow H \cr & \left[ B \right] = \frac{N}{{A \cdot m}} = T \cr} \)
\({\mu _0} = 4\pi \cdot {10^{ - 7}}\dfrac{{Vs}}{{Am}}\)
Materialien unterscheiden sich erheblich bezüglich ihrer relativen Permeabilität. Diamagnetische Stoffe besitzen eine relative Permeabilität zwischen 0 und 1. Ein Supraleiter 1. Art verdrängt ein von außen vorhandenes Magnetfeld vollständig aus seinem Inneren und hat daher \({\mu _{r,Supraleiter}} = 0\). Für Wasser und Luft gilt: \({\mu _{r,H2O}} = 0,999991;\,\,\,\,\,{\mu _{r,Luft}} = 1,0000004\). Für Eisen gilt der Bereich \({\mu _{r,Eisen}} \approx 300...10000\). Für amorphe oer nanokristalline Metalle liegt die relative Permeabilität bei Werten bis einige hundertausend.
Um eine bestimmte magnetische Induktion L etwa in Eisen hervorzurufen, bedarf es zufolge \(\overrightarrow B = \mu \cdot \overrightarrow H\) einer weit geringeren magnetischen Feldstärke \( \overrightarrow H\) , als etwa für die gleiche magnetische Induktion L in Luft erforderlich wäre. Wenn allerdings im Eisen alle Elementarmagnete ausgerichtet sind, d.h. im Bereich sehr hoher Sättigung, ist die Zunahme der magnetischen Flussdichte \(\overrightarrow B\) bei weiterer Steigerung der äußeren magnetischen Feldstärke \(\overrightarrow H\) schließlich nicht mehr größer als in Luft.
Die magnetische Flussdichte \(\overrightarrow B\) ist ein auf den Querschnitt bezogener Fluss: \(\overrightarrow B = \dfrac{{d\Phi }}{{dA}}\) und erlaubt im Gegensatz zum querschnittabhängigen Fluss \(\Phi\) eine Exklusivaussage über die herrschende Feldstärke.
Die magnetische Flussdichte B wird manchmal auch magnetische Induktion genannt. Da "Induktion" und "Induktivität" sehr ähnlich klingen, sei hier auf den Unterschied hingewiesen.
Unterschied zwischen Induktion B und Induktivität L
- Magnetische Flussdichte B - sie wird auch magnetische Induktion genannt - ist ein Maß dafür, wie stark ein Magnetfeld ist. Ihre Einheit ist das Tesla.
- Induktivität L ist eine Eigenschaft einer Spule und hängt nur von deren Bauform ab. Ihre Einheit ist das Henry.
Magnetische Flussdichte B um einen stromdurchflossenen Leiter
Fließt durch einen unendlich langen geraden Leiter ein Strom der Stärke I, so ergibt sich der Betrag der magnetischen Flussdichte B im Abstand r vom Leiter wie folgt:
\(B = {\mu _0} \cdot \dfrac{1}{{2\pi r}} \cdot I\)
Die Feldlinien des Magnetfeldes verlaufen dabei in konzentrischen Kreisen senkrecht zum stromdurchflossenen Leiter.
Magnetische Flussdichte B im Inneren einer stromdurchflossenen Spule
\(\overrightarrow B = \dfrac{{n \cdot {\mu _0} \cdot I}}{{{l_{Spule}}}}\)
bzw. wenn die Spule einen Kern hat:
\(\overrightarrow B = \dfrac{{n \cdot {\mu _r} \cdot {\mu _0} \cdot I}}{{{l_{Spule}}}}\)
Tesla (T)
Einem Tesla entspricht jene magnetische Flussdichte, die auf einen 1m langen Leiter der von einem Strom von 1 A durchflossen wird, eine Kraft von 1 N ausübt. 1 T ist eine sehr große Einheit.
\(\left[ {1 \cdot T = 1 \cdot \dfrac{{V \cdot s}}{{{m^2}}} = 1 \cdot \dfrac{N}{{A \cdot m}} = 1 \cdot \dfrac{{Wb}}{{{m^2}}} = 1 \cdot \dfrac{{kg}}{{A \cdot {s^2}}}} \right]\)
- Das Erdmagnetfeld beträgt ca \(4 \cdot {10^{ - 5}}T\).
- In der Magnetresonanztomographie, einem bildgebenden Verfahren zur Darstellung der Gewebestruktur, erzeugt ein 34 Tonnen Magnet mit 270 Tonnen Eisen zur Abschirmung bis zu 7 Tesla.
Magnetischer Fluss Phi
Allgemein bezeichnet man jedes Flächenintegral über eine Vektorgröße als Fluss. Der magnetische Fluss \(\Phi\) (sprich: “Phi“) mit der Einheit Weber, ist ein Maß dafür, wie viel Feld \(\overrightarrow B\) etwa aus dem N-Pol eines Magneten austritt. Er gibt die Gesamtzahl aller Feldlinien an, die von einer Spule erzeugt werden.
\(\begin{array}{l} \Phi = \int\limits_A {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow A } \\ \left[ \Phi \right] = Wb \end{array}\)
Der magnetische Fluss \(\Phi\) ist ein Skalar. Der magnetische Fluss ist nur für eine Fläche im Raum definiert, daher auch das Flächenintegral, nicht aber für jeden einzelnen Punkt im Raum. In der Praxis wird daher selten mit dem magnetischen Fluss, sondern mit der magnetischen Flussdichte B gearbeitet.
- Im inhomogenen Feld ergibt sich der magnetische Fluss \(\Phi\), wenn man die magnetische Flussdichte \(\overrightarrow B\) über den Querschnitt \(\overrightarrow A\) aufsummiert (aufintegriert).
- Im homogenen Feld ist der magnetische Fluss \(\Phi\) das „in-Produkt“ aus Felddichte \(\overrightarrow B\) und orientiertem Querschnitt \(\overrightarrow A\) gemäß: \(\Phi = \overrightarrow B \cdot \overrightarrow A \cdot \cos \left( {\angle \overrightarrow B ,\overrightarrow A } \right)\). Der magnetische Fluss hat sein Maximum wenn \(\overrightarrow B \parallel \overrightarrow A\)
Der magnetische Fluss \(\Phi\) ist - vergleichbar zur elektrischen Stromstärke I - die Wirkung einer magnetischen Spannung Um und fließt durch einen materialabhängigen magnetischen Widerstand Rm.
\(\Phi = \dfrac{{{U_m}}}{{{R_m}}}\)
Weber
Weber (Wb) ist die Einheit vom magnetischen Fluss. 1 Weber ist jener magnetischer Fluss, der während er in 1 Sekunde auf null absinkt, in einer ihn umgebenden Leiterschleife eine elektrische Spannung U in Höhe von 1 V induziert.
\(\left[ {1 \cdot Wb = 1 \cdot T \cdot {m^2} = 1 \cdot V \cdot s} \right]\)
Magnetischer Hüllenfluss
Der Satz vom magnetischen Hüllenfluss besagt, dass der durch eine Fläche austretende magnetische Fluss, auf Grund der Quellenfreiheit magnetischer Felder stets gleich Null sein muss.
\(\mathop \Phi \limits^o = \oint\limits_A {\overrightarrow B \,\,d\overrightarrow A } = \int\limits_V {\operatorname{div} \overrightarrow B \,\,dV} = 0\)
In obiger Gleichung kommt der gaußsche Integralsatz zur Anwendung.