Funktionen und Modelle

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Formeln

Mathematisches Modell

Ein mathematisches Modell beschreibt das Zusammenspiel von einzelnen Komponenten eines komplexen Systems (aus der Natur), mit den Mitteln der Mathematik.

Zweck der Modellbildung (Regelungstechnik)

Das Modell ist dabei eine vereinfachte Darstellung des komplexen Systems. Bei der Modellbildung darf nur soweit vereinfacht werden, solange das Modell das System hinreichend genau repräsentiert.

Vorgehen bei der Modellbildung (Regelungstechnik)

Bei der Modellbildung klärt man zunächst ab, welche Größen und welche Zusammenhänge zur Beschreibung des komplexen Originalsystems überhaupt relevant sind. Zur Abbildung in ein mathematisches Modell beschreibt man die Zusammenhänge zwischen den Zustandsgrößen durch Gleichungen

Black Box (Regelungstechnik)

Um vom komplexen System (aus der Natur) zu einem Modell zu kommen, betrachtet man das komplexe System wie eine Black Box. Eine Black Box ist ein Objekt, von dem zunächst nur das Verhalten über definierte äußere Schnittstellen bekannt ist. Man hat also kein Wissen darüber, wie das Innere der Black Box aufgebaut ist.

Um ein Modell über das unbekannte Innere der Black Box und somit ein Modell für das komplexe System aufstellen zu können, verändert man gezielt den Input, also die Eingangsgrößen und beobachtet wie sich der Output, also die Ausgangsgrößen verändern und versucht dafür eine mathematische Funktion aufzustellen.

Durch Parametervariation prüft man, ob die Ausgangsgrößen des realen komplexen Systems genauso den veränderten Parametern der Eingangsgrößen folgen, wie dies der Output der Black Box bei entsprechenden Veränderungen des Inputs macht.

1. Schritt der Modellbildung

Zunächst werden nur die Ein- bzw. Ausgangsgrößen untersucht:
\(Input \to \boxed{BlackBox} \to Output\)

2. Schritt der Modellbildung

Dann wird versucht, die innere unbekannte Struktur zu modellieren:
\({\text{unabhängige Größe}} \to \boxed{Modell} \to {\text{abhängige Größe}}\)

Unabhängige Größe im Regelkreis

Unter der unabhängigen Größe, auch Stellgröße, im Sinne der Regelungstechnik, verstehen wir den erwünschten Wert am Ausgang vom Regelkreis. Aus dem Sollwert und dem vom Regelkreis-Ausgang rückgeführten Istwert wird durch Vergleich die Regelwertabweichung gebildet, die dem Regler mit der Absicht zugeführt wird, Übereinstimmung zwischen der Stellgröße und dem Istwert der Regelgröße herzustellen.

Abhängige Größe im Regelkreis

Unter der abhängigen Größe, auch Regelgröße, im Sinne der Regelungstechnik, verstehen wir das Ausgangssignal vom Regelkreis.

3. Schritt der Modellbildung

Letztlich versucht man einen mathematischen Zusammenhang zwischen der Änderung der Ausgangsgröße in Abhängigkeit von einer Änderung der Eingangsgröße herzustellen.
\(x \in {D_f} \to \boxed{y = f\left( x \right)} \to y \in {W_f}\)

Dabei unterscheidet man zwischen diskreten und kontinuierlichen Modellen.

Diskretes Modell (Ausdruck für Quantisierbarkeit)

In diskreten Modellen ändert sich der Anfangswert um ein bestimmtes Quantum oder ein ganzzahliges Vielfaches davon. Dieses Quantum hat dabei einen bestimmten Mindestwert. Dieser Mindestwert kann nicht beliebig klein werden, sondern es handelt sich um eine bestimmte Menge oder eine bestimmte Anzahl. Einen Zwischenwert (etwa die Hälfte) von diesem Mindestwert gibt es nicht.

t	f(x)
0	\({{y_0}}\)
\({\Delta t}\)	\({{y_1}}\)
\({2\Delta t}\)	\({{y_2}}\)

Beispiele:

Geldmünzen: Die kleinste Einheit die man mit Bargeld bezahlen kann ist 1 Cent. Einen halben Cent als Zwischenwert gibt es (als Bargeld) nicht
Quantenphysik und das Standardmodell der Elementarteilchen sind Teilgebiete der Physik, die sich der Quantisierung widmen , dort gibt es Energie nur in bestimmten nicht weiter teilbaren Mengen

Kontinuierliches Modell (Ausdruck für Kontinuität)

In kontinuierlichen Modellen ändert sich der Anfangswert stetig. Änderungen (Zu- oder Abnahme) können beliebig klein sein. Zum Zeitpunkt t beträgt er y_t= y(t). Differentialgleichungen eignen sich zur Beschreibung von kontinuierlichen Systemen.

Beispiel:
Die Gleichung einer Geraden. Für jedes (unabhängige) x gibt es ein (abhängiges) y=f(x).

Simulation zur Überprüfung des Modells

In der Simulation stellt man zuerst fest, wie sich die Ausgangsgrößen des Modells in Abhängigkeit von den Eingangsgrößen verhalten. Man analysiert das mathematische Modell hinsichtlich der Existenz und deren Eindeutigkeit von Lösungen. Im Falle von Abweichungen des Modellverhaltens während der Simulation vom Verhalten des realen komplexen Systems, sucht man nach Modellfehlern bzw. nach Datenfehlern.

Mathematisches Modell

Modellbildung

Simulation

Black Box

Parametervariation (Black Box)

Diskretes Modell

Kontinuierliches Modell

Abhängige Größe im Regelkreis

Unabhängige Größe im Regelkreis

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Aufgaben

Wachstum

Unter Wachstum versteht man den Anstieg einer Messgröße im Verlauf der Zeit.

Positivwachstum: Zunahme
Negativwachstum: Abnahme, Zerfall oder Schrumpfung
Nullwachstum: über den Zeitverlauf hinweg bleibt die Messgröße konstant

Lineare Wachstumsmodelle

Bei linearen Wachstumsmodellen kommt x in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, nur in der 1. Potenz vor. In gleichen Zeitschritten, erfolgen gleiche absolute Änderungen. Die Wachstumsrate ist konstant. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle

\(f\left( x \right) = kx + d\)

d	Anfangswert an der Stelle x=0
k	Wachstumswert

Diskretes lineares Wachstumsmodell

Beim diskreten linearen Wachstumsmodell bleibt die absolute Änderung pro Schritt konstant.

\(\Delta {y_n} = {\text{k wobei: k}} \in {\Bbb R}\)

Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\)
Explizite Form: \({y_n} = {y_0} + n \cdot k\)

Kontinuierliches lineares Wachstumsmodell

Beim kontinuierlichen linearen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate konstant und unabhängig von jeweils aktuellen Wert.

\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k{\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} + k \cdot t \cr}\)

Exponentielle Wachstumsmodelle

Bei exponentiellen Wachstumsmodellen (gemäß Exponentialfunktionen) kommt x in der Gleichung, die das Übertragungsverhalten beschreibt, als Exponent (Hochzahl) vor. In (absolut) gleichgroßen Zeitschritten t, erfolgen relative (=prozentuell) gleichgroße Änderungen des Funktionswerts N(t). Charakteristisch ist die am Anfang langsame, dann zunehmend schnellerwerdende Zunahme, die letztlich explosionsartig schnell wird (Kettenprozesse). Unbegrenzt exponentielles Wachstum kann es in der Natur nicht geben. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle

\(f\left( x \right) = k \cdot {e^{cx}}\)

\(N\left( t \right) = {N_0} \cdot {a^t}\)

Als Maß für die Steigung dient die 1. Ableitung:
\(f'\left( x \right) = c \cdot f\left( x \right)\)

wobei:
\({\text{k}} = f\left( 0 \right);\)

Diskretes exponentielles Wachstumsmodell

Beim diskreten exponentiellen Wachstumsmodell ist die relative Änderung pro Schritt konstant. Die Wachstumsrate ist proportional zum Bestand.

\(\dfrac{{\Delta {y_n}}}{{{y_n}}} = k{\text{ wobei: }}k \in {\Bbb R}\)

Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = \left( {1 + k} \right) \cdot {y_n}\)
Explizite Form: \({y_n} = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^n}\)

Kontinuierlich exponentielles Wachstumsmodell

Beim kontinuierlichen exponentiellen Wachstumsmodell ist die mittlere Änderungsrate proportional zum jeweils aktuellen Wert.

\(\eqalign{ & \dfrac{{\Delta y}}{{\Delta t}} = k \cdot y\left( t \right){\text{ mit }}k \in {\Bbb R} \cr & y\left( t \right) = {y_0} \cdot {\left( {1 + k} \right)^t} \cr}\)

Beschränkte Wachstumsmodelle

Bei beschränkten Wachstumsmodellen gibt es einen das Wachstum beschränkenden Wert S, wodurch das Wachstum nach oben oder nach unten beschränkt wird. Es handelt sich um ein sogenanntes Sättigungsmodell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze. Charakteristisch ist die Anfangs explosionsartig, dann zunehmend langsamer werdende Zunahme, die letztlich völlig abklingt und einer endlichen Obergrenze zustrebt. Wir unterscheiden diskrete und kontinuierliche Modelle

Kontinuierlich beschränktes Wachstumsmodell

Beim kontinuierlich beschränkten Wachstumsmodell (z.B.: gemäß Logarithmusfunktionen) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes alle Zwischenwerte auftreten

\(f\left( x \right) = S - \left( {S - k} \right){e^{ - cx}}\)

Als Maß für die Steigung dient die 1. Ableitung
\(f'\left( x \right) = c \cdot \left( {S - f\left( x \right)} \right)\)

wobei: k=f(0)

Diskret beschränktes Wachstumsmodell

Beim diskreten beschränkten Wachstumsmodell (z.B. Verkaufte Stückzahl von einem Produkt) können bis zum Erreichen des Sättigungswertes nur eine endliche Anzahl an diskreten Zwischenwerten auftreten.

mit S als Sättigungswert:
\(\Delta {y_n} = k \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)

Rekursive Form: \({y_{n + 1}} = {y_n} + k\left( {S - {y_n}} \right)\)
Explizite Form: \({y_n} = S - \left( {S - {y_0}} \right) \cdot {\left( {1 - k} \right)^n}\)

Logistische Wachstumsmodelle

Logistische Wachstumsmodelle sind eine Kombination aus exponentiellem und beschränktem Modell. Die absolute Änderung je Schritt ist proportional zum jeweiligen Wert und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze.

Kontinuierlich logistisches Wachstumsmodell

Beim kontinuierlich logistischen Wachstumsmodell ist die Anfangs explosionsartig, dann zunehmend langsamer werdende Zunahme, die letztlich einer endlichen Obergrenze zustrebt, charakteristisch

\(f\left( x \right) = \dfrac{{kS}}{{k + \left( {S - k} \right) \cdot {e^{ - cSx}}}}\)

Als Maß für die Steigung dient die 1. Ableitung:

\(f'\left( x \right) = c \cdot \left[ {f\left( x \right) \cdot \left( {S - f\left( x \right)} \right)} \right]\)

Dabei ist \(k = f\left( 0 \right);\)der Anfangswert mit 0 < k < S und S ist die Sättigungsgrenze.

Diskretes logistisches Wachstumsmodell

Beim diskreten logistischen Wachstumsmodell ist die absolute Änderung je Schritt proportional zum jeweiligen Wert und dem jeweils verbleibenden Abstand zur endlichen Obergrenze.

\(\Delta {y_n} = k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)

Rekursive Form:
\({y_{n + 1}} = {y_n} + k \cdot {y_n} \cdot \left( {S - {y_n}} \right)\)

Lineare Wachstumsmodelle

Beschränkte Wachstumsmodelle

Logistische Wachstumsmodelle

Exponentielle Wachstumsmodelle

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Zuordnungen

Von einer Zuordnung spricht man, wenn ein Wert eindeutig einem anderen Wert zugeordnet wird. Ein Wert wird durch die Zuordungsvorschrift von einem anderen Wert abhängig.

Darstellungsformen für Zuordnungen

Zuordnungen können als Pfeile, als Wertetabellen, als Linien- oder Punktdiagramme in einem Koordinatensystem (auf der x-Achse der unabhängige Wert, auf der y-Achse der abhängige Wert) oder in Form einer mathematisch formulierten Zuordungsvorschrift (etwa als Funktion) abgebildet werden.

Proportionale Zuordnung

Von einer proportionalen, auch direkt proportionalen Zuordnung spricht man, der Quotient aus dem abhängigen und dem unabhängigen Wert konstant, also für alle Zahlenpaare gleich, ist.

\(\dfrac{{{\text{y - Wert}}}}{{{\text{x - Wert}}}}{\text{ = konstant}}\)

Direkter Proportionalitätsfaktor

Ist der Quotient zweier Werte konstant, so sind die beiden Werte direkt proportional. Der direkte Proportionalitätsfaktor ist der Quotient aus dem abhängigen y- und dem unabhängigen x-Wert.

\({\text{k = }}\dfrac{{{\text{y - Wert}}}}{{{\text{x - Wert}}}}\)

Die Zahlenpaare x_i, y_i sind quotientengleich. Umgekehrt formuliert heißt eine Zuordnung proportional, wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation vom x-Wert mit dem Proportionalitätsfaktor ergibt.
Proportionale Zuordnungen sind vom Typ "Je mehr, desto mehr".
Verdoppelt bzw. halbiert man den unabhängigen Wert so verdoppelt bzw. halbiert sich auch der abhängige Wert.
Der Graph einer proportionalen Zuordnung ist eine Gerade durch den Ursprung.

Beispiel:
Stückzahl und Kosten

1 Wiener Schnitzel → 12 € Kosten
2 Wiener Schnitzel → 24 € Kosten
3 Wiener Schnitzel → 36 € Kosten

Die Zuordnungsvorschrift besagt, dass ein Wiener Schnitzel 12 € kostet, und dass die n-fache Anzahl an Wiener Schnitzel den n-fachen Preis kosten. k=12

Antiproportionale Zuordnung

Von einer antiproportionalen, auch indirektproportionalen Zuordnung spricht man, wenn das Produkt aus dem abhängigen und dem unabhängigen Wert konstant, also für alle Zahlenpaare gleich ist

\({\text{x - Wert}} \cdot {\text{y - Wert = konstant}}\)

Indirekter Proportionalitätsfaktor

Ist das Produkt zweier Werte konstant, so sind die beiden Werte indirekt proportional. Der indirekte Proportionalitätsfaktor ist das Produkt aus dem unabhängigen x und dem abhängigen y-Wert.

\({\text{k = x - Wert}} \cdot {\text{y - Wert}}\)

Die Zahlenpaare x_i, y_i sind produktgleich. Umgekehrt formuliert heißt eine Zuordnung antiproportional, wenn sich jeder y-Wert durch Multiplikation vom 1/x-Wert (Kehrwert) mit dem Proportionalitätsfaktor ergibt.
Antiproportionale Zuordnungen sind vom Typ "Je mehr, desto weniger".
Verdoppelt bzw. halbiert man den unabhängigen Wert, so halbiert bzw. verdoppelt sich der abhängige Wert.
Der Graph einer antiproportionalen Zuordnung ist ein Hyperbelast, welcher von oben unendlich nach rechts unendlich verläuft.

Beispiel:
Arbeiter und Dauer der Baustelle

1 Arbeiter → Dauer der Baustelle 12 Tage
2 Arbeiter → Dauer der Baustelle 6 Tage
3 Arbeiter → Dauer der Baustelle 4 Tage

Die Zuordnungsvorschrift besagt, dass 1 Arbeiter 12 Tage benötigt und dass sich bei jedem weiteren Arbeiter die Baustellendauer halbiert. 0 Arbeiter werden jedoch nie fertig. k=12.

Zuordnungen

Proportionale Zuordnung

Antiproportionale Zuordnung

Proportionalitätsfaktor

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Aufgaben

Lineare Funktion

Bei linearen Funktionen kommt x nur in der 1. Potenz vor. Ihr Funktionsgraph ist eine Gerade, deren Erscheinungsbild durch die beiden Parameter k und d bestimmt ist. Dabei ist

y die von x abhängige Variable, sie wird auch als Funktionswert bezeichnet
k der Anstieg bzw. die Steigung. Die Steigung ist bei einer Geraden natürlich unveränderlich konstant
x die unabhängige Variable, sie wird auch als das Argument der Funktion bezeichnet
d der Abschnitt auf der y-Achse. Der Punkt (0|d) ist daher der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse, man spricht vom Achsenabschnitt

\(f\left( x \right) =y= kx + d\)

Homogene lineare Funktion

Bei der homogenen linearen Funktion ist d=0, daher verläuft ihr Graph durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx\)

Inhomogene lineare Funktion

Bei der inhomogenen linearen Funktion ist d≠0, daher verläuft der Graph nicht durch den Koordinatenursprung.
\(f\left( x \right) = kx + d\)

Konstante Funktion

Bei der konstanten Funktion ist k=0, daher verläuft der Graph parallel zur x-Achse, im Abstand d. Für k=0 und d=0 entspricht der Graph der Funktion dem Verlauf der x-Achse
\(f\left( x \right) = d\)

1. bzw. 2. Mediane

Die Funktion \(f\left( x \right) = \pm x\) heißt 1. bzw. 2. Mediane, wenn k=1 bzw. -1 und d=0. Ihr Graph verläuft durch den Ursprung und steht im 45° Winkel zur x- und zur y-Achse.

Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft

Es gibt auch Geraden, die nicht der Graph einer linearen Funktion sind. Man spricht nicht von einer Funktion, wenn x=c. Das wäre die Gleichung einer Geraden, die parallel zur y-Achse verläuft oder speziell für x=c=0 wäre es die Gleichung der y-Achse

Steigung k

Die Steigung einer linearen Funktion ist ein Maß dafür, wie stark sich die Funktionswerte y=f(x) ändern, wenn sich die Argumente x ändern. Bei positivem k steigt der Graph der Funktion an, bei negativem k fällt er im Koordinatensystem von links oben nach rechts unten. Andere Bezeichnungen für k sind. Steigungsverhältnis bzw. Differenzenquotient.

Die Steigung k der linearen Funktion ist unabhängig von x, was man wie folgt zeigen kann:
\(\dfrac{{f\left( {{x_2}} \right) - f\left( {{x_1}} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = \dfrac{{\left( {k \cdot {x_2} + d} \right) - \left( {k \cdot {x_1} + d} \right)}}{{{x_2} - {x_1}}} = k\)

Aus der konstanten Steigung folgert, dass der Graph einer linearen Funktion eine Gerade sein muss.

Achsenabschnitt d

Der Achsenabschnitt d ist der Schnittpunkt der Funktion mit der y-Achse, was man wie folgt zeigen kann:

\(f\left( {x = 0} \right) = k \cdot 0 + d = d\)

Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=0

Beachte:

Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung

Beispiel:
Lineare Funktion mit k=-1 und d=0

Beachte:

Zufolge k=-1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach unten geht.
Zufolge d=0 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse im Ursprung

Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=2;

Beachte:

Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
Zufolge d=2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| 2 \right.} \right)\)

Beispiel:
Lineare Funktion mit k=1 und d=-2;

Beachte:

Zufolge k=1 ergibt sich die Steigung der Funktion f(x), indem man von einem Ausgangspunkt, der selbst auf der Funktion liegt um 1 Einheit nach rechts und um 1 Einheit nach oben geht.
Zufolge d=-2 liegt der Schnittpunkt der Funktion f(x) mit der y-Achse in \(P\left( {0\left| -2 \right.} \right)\)

Lineare Funktion

Steigung linearer Funktionen

Homogene lineare Funktion

Mediane

Inhomogene lineare Funktion

Achsenabschnitt linearer Funktionen

Konstante Funktion

Steigung einer linearen Funktion

Achsenabschnitt einer linearen Funktion

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Intervallweise lineare Funktion

Bei intervallweise linearen Funktionen handelt es sich um zusammengesetzte lineare Teil-Funktionen, die innerhalb eines definierten Intervalls (Anfangspunkt, Endpunkt) linear sind, die aber an den Intervallgrenzen Spitzen / Knicke oder Sprungstellen haben. Intervallweise lineare Funktionen haben keinen durchgängigen sondern einen auf Intervalle eingeschränkten Definitionsbereich D_f.

Man bezeichnet solche zusammengesetzte Teilfunktionen auch „abschnittsweise linear“ oder „stückweise linear“. Zu den intervallweise linearen Funktionen gehören die Betragsfunktion, die Signumfunktion, die Integerfunktion und die Gaußklammerfunktion.

Betragsfunktion

Die Betragsfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 2 Teilfunktionen zerlegt werden und hat eine Spitze an der Stelle f(0).

Ist x eine positive Zahl, so ist abs x eine positive Zahl.
Ist x = 0, so ist abs x gleich 0
Ist x eine negative Zahl, so ist abs x der Betrag von x, also eine positive Zahl

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \left| x \right| \cr & f\left( x \right) = \operatorname{abs} x \cr & {D_f}:\left| x \right| = + x\,\,\forall x \geqslant 0\,\, \cup \,\, - x\,\,\forall x \leqslant 0 \cr}\)

Signumfunktion

Die Signumfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in 3 Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an der Stelle x=0 zwei Sprungstellen. Obwohl 0 kein Vorzeichen hat, ist sgn 0 = 0.

Ist x eine positive Zahl, so wird sgn x zu +1
Ist x = 0, so wird sgn 0 zu 0
Ist x eine negative Zahl, so wird sgn x zu -1

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{sgn} x \cr & {D_f}:\,\,\operatorname{sgn} x = + 1\,\,\forall x > 0\,\, \cup \,\, - 1\,\,\forall x < 0 \cr}\)

Integerfunktion

Die Integerfunktion ist eine intervallweise lineare Funktion. Sie kann in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert ≠ 0 annimmt eine Sprungstelle.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \operatorname{int} x \cr & {D_f}:\operatorname{int} x = {\text{ganzahliger Teil von x }}\forall x \geqslant 0 \cup \forall x \leqslant 0 \cr}\)

Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion

Die Abrundungs- bzw. Aufrundungsfunktion ordnen jeder reellen Zahl die nächstliegende nicht größere (floor) oder nicht kleinere (ceiling) ganze Zahl zu. Beide Funktionen können in unendlich viele Teilfunktionen zerlegt werden und besitzt an den Stellen wo x einen ganzzahligen Wert annimmt eine Sprungstelle.

In den beiden nachfolgenden Darstellungen wird das jeweilige Intervall durch

einen vollen Punkt (Intervallgrenze enthalten)
einen hohlen Punkt (Intervallgrenze nicht enthalten)
den Strich dazwischen, für das Intervall selbst

veranschaulicht.

Abrundungs- oder Gaußklammerfunktion (floor)

Für eine reelle Zahl x ist floor x die größte ganze Zahl, die kleiner oder gleich x ist.

floor(3,7)=3
floor(-3,1)=-4

Aufrundungsfunktion (ceiling)

Für eine reelle Zahl x ist ceiling x die kleinste ganze Zahl, die größer oder gleich x ist

ceiling(3,1)=4
ceiling(-3,7)=-3

Abschnittsweise definierte Funktion

Unter einer abschnittsweise d.h. intervallweise definierten Funktion versteht man eine, aus zwei oder mehreren Funktionen zusammengesetzte Funktion, für jeweils unterschiedliche Intervalle der Zahlengeraden.

\(f\left( x \right) = \left\{ {\begin{array}{*{20}{c}} {{f_1}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left] {{g_1};{g_2}} \right[}\\ {{f_2}\left( x \right){\rm{ mit }}x \in \left[ {{g_3};{g_4}} \right]{\rm{ }}}\\ {{f_3}\left( x \right){\rm{ mit x}} \in \left] {{g_5};{g_6}} \right[} \end{array}} \right.\)

Intervallweise lineare Funktionen

Spitze einer Funktion

Funktion mit Knick

Sprungstelle einer Funktion

Abschnittsweise lineare Funktionen

Stückweise lineare Funktionen

Abschnittsweise definierte Teilfunktion

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Gebrochenrationale Funktion

Gebrochenrationale Funktionen haben sowohl im Zähler als auch im Nenner ein Polynom.

\(f\left( x \right) = \dfrac{{p\left( x \right)}}{{q\left( x \right)}}\)

Echt gebrochenrationale Funktion: Der Grad vom Zählerpolynom ist kleiner als der Grad vom Nennerpolynom. Ein Beispiel hierfür sind die Hyperbeln.
Unecht gebrochenrationale Funktion: Der Grad vom Zählerpolynom ist größer oder gleich als der Grad vom Nennerpolynom.

Hyperbel n-ten Grades

Bei Hyperbeln n-ten Grades sind die Funktionswerte f(x) zu den Potenzen der Argumente x indirekt proportional. Der Graph der Funktion ist eine Hyperbel. Man bezeichnet die Funktion auch als Reziprokfunktion. Achtung: unter "hyperbolischen" Funktionen versteht man spezielle Exponentialfunktionen.

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{c}{{{x^n}}} = c \cdot {x^{ - n}} \cr & n \in {{\Bbb N}_g} \cr}\)

Hyperbeln vom Grad n, wenn n gerade ist

Graph liegt symmetrisch zur y-Achse

Hyperbeln vom Grad n, wenn n ungerade ist

Graph liegt symmetrisch zur x-Achse

Hyperbelfunktionen

Indirekt proportionale Funktion

Reziprokfunktionen

Reziproke Funktion

Gebrochenrationale Funktion

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Aufgaben

Quadratische Funktionen (Parabeln)

Der Graph einer quadratischen Funktion ist eine Parabel. Die Parabel ist nach oben oder nach unten offen und nach links und rechts unbegrenzt. Der Punkt an dem die Parabel ihr Minimum annimmt heißt Scheitelpunkt. Die y-Achse ist die Symmetrieachse der Parabel. Es handelt sich um eine gerade Funktion, da f(x)=f(-x).

\(f\left( x \right) = a \cdot {x^2}\)

Allgemeine Form der quadratischen Funktion

Die quadratische Funktion setzt sich aus einem quadratischen, einem linearen und einem konstanten Glied zusammen. Der Parameter c heißt y-Achsenabschnitt der Parabel, die den Graph der quadratischen Funktion darstellt. Es ist dies der Schnittpunkt der Parabel mit der y-Achse, somit der Punkt \(S\left( {0\left| {{S_y}} \right.} \right)\)

\(f(x) = a \cdot {x^2} + b \cdot x + c\)

Normalform der quadratischen Funktion

Man kann durch Division durch a erzwingen, dass der Parameter a=1 wird. Dann spricht man von der Normalform der quadratischen Funktion.

\(f(x) = {x^2} + p \cdot x + q\)

Nullstellenform der quadratischen Funktion

Die Nullstellenform, auch die faktorisierte Form der quadratischen Funktion genannt, gibt es nur dann wenn die Parabel , also der Graph der quadratischen Funktion, überhaupt die x-Achse schneidet. Die quadratische Funktion in faktorisierter Form weist direkt die Nullstellen x₁ bzw. x₂ aus. Die Nullstellen der quadratischen Funktion findet man mit der abc Formel, die auch Mitternachtsformel genannt wird (siehe dort).

\(\eqalign{ & f\left( x \right) = a\left( {x - {x_1}} \right) \cdot \left( {x - {x_2}} \right) \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} \cr}\)

Falls b² - 4ac >0 ist, besitzt die Gleichung 2 verschiedene reelle Lösungen., bei b² - 4ac = 0 besitzt sie eine reelle Doppellösung, sonst besitzt sie 2 konjugiert komplexe Lösungen in C.

Beispiel:
Quadratische Funktion in der allgemeinen Form mit a=1 b=0 c=0