Grenzwert, Limes, Konvergenz bzw. Divergenz

Grenzwert bzw. Limes

\(\mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {a_n} = g\)

Eine Zahl g heißt Grenzwert einer unendlichen Folge ⟨a_n⟩, wenn in jeder Umgebung von g fast alle Glieder der Folge liegen. Wenn es einen Grenzwert gibt, so ist dieser auch ein Häufungswert, die Umkehrung gilt nicht, weil es Folgen gibt, die zwar einen oder mehrere Häfungswert aber keinen Grenzwert besitzen.

\(\eqalign{
& \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } \frac{1}{n} = 0 = {\text{Grenzwert}} \cr
& \mathop {\lim }\limits_{n \to \infty } {\left( { - 1} \right)^n} = \pm 1 = {\text{2 Häufungswerte}}{\text{, kein Grenzwert}} \cr} \)