Aufgabe 194
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \cos \left( {{e^{ - 3x}}} \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Winkel- und von Exponentialfunktionen an.
Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die äußere Ableitung und die innere Ableitung bilden.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = \cos \left( {{e^{ - 3x}}} \right);\)
Man leitet zuerst die Funktion selbst ab und multipliziert dann mit deren "innerer Ableitung"
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = - \sin \left( {{e^{ - 3x}}} \right) \cdot \left( { - 3} \right) \cdot {e^{ - 3x}} = \cr & = 3{e^{ - 3x}}\sin \left( {{e^{ - 3x}}} \right) \cr}\)
Wir haben die Differentationsregeln für Exponentialfunktionen und die Kettenregel angewendet.
Die Regel für das Differenzieren von Exponentialfunktionen lautet:
\(\eqalign{ & y = f\left( x \right) = {e^{kx}}; \cr & y' = f'\left( x \right) = k \cdot {e^{kx}}; \cr}\)
Die Kettenregel bei Differenzieren lautet:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr} \)
mit
Reihenfolge, in der ich die Tabelle ausfülle |
||
Substitution: | \(u = {e^{ - 3x}}\) | 1. |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = \cos \left( u \right)\) | 4. |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = - \sin \left( u \right)\) | 5. |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = {e^{ - 3x}}\) | 2. |
Innere Ableitung: |
\(u'\left( x \right) = - 3 \cdot {e^{ - 3x}}\) | 3. |
Nur zur Veranschaulichung sei hier gezeigt, wie das Beispiel auch mit der allgemeinen Kettenregel fürs Differenzieren gerechnet werden kann:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right); \cr & y' = f'\left( x \right) = w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) \cdot v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right); \cr} \)
mit:
Reihenfolge, in der ich die Tabelle ausfülle |
||
Substitution: | \(u = - 3x\) | 1. |
Äußere Funktion: | \(w\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) = \cos \left( {{e^u}} \right)\) | 6. |
Äußere Ableitung: | \(w'\left( {v\left( {u\left( x \right)} \right)} \right) = - \sin \left( {{e^u}} \right)\) | 7. |
Mittlere Funktion: | \(v\left( {u\left( x \right)} \right) = {e^u}\) | 4. |
Mittlere Ableitung: | \(v'\left( {u\left( x \right)} \right) = {e^u}\) | 5. |
Innerste Funktion: | \(u\left( x \right) = - 3x\) | 2. |
Innerste Ableitung: | \(u'\left( x \right) = - 3\) | 3. |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = 3{e^{ - 3x}}\sin \left( {{e^{ - 3x}}} \right)\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.