Aufgabe 189
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \dfrac{{{e^{cx}}}}{{{x^2} - 1}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung.
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Exponentialfunktionen sowie die Quotientenregel an.
\(f(x) = \dfrac{{{e^{cx}}}}{{{x^2} - 1}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \dfrac{{\left( {{e^{cx}} \cdot c} \right) \cdot \left( {{x^2} - 1} \right) - \left( {{e^{cx}}} \right) \cdot \left( {2x} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \cr & = \dfrac{{c{x^2} \cdot {e^{cx}} - c{e^{cx}} - 2x{e^{cx}}}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} = \cr & = \dfrac{{{e^{cx}} \cdot \left( {c{x^2} - 2x - c} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}} \cr}\)
Wir haben die Differentationsregeln für Exponentialfunktionen sowie die Quotientenregel angewendet.
Die Regel für das Differenzieren von Quotienten (Brüchen) lautet:
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = \dfrac{{u\left( x \right)}}{{v\left( x \right)}};\, \cr & f'\left( x \right) = \dfrac{{u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) - u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right)}}{{{v^2}\left( x \right)}} \cr}\)
mit:
\(u\left( x \right) = {e^{cx}}\) | \(u'\left( x \right) = c \cdot {e^{cx}}\) |
\(v\left( x \right) = {x^2} - 1\) | \(v'\left( x \right) = 2x\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{{e^{cx}} \cdot \left( {c{x^2} - 2x - c} \right)}}{{{{\left( {{x^2} - 1} \right)}^2}}}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.