Aufgabe 188
Differenzieren von Exponentialfunktionen
Gegeben sei die Funktion: ;\(f(x) = \left( {1 + x} \right) \cdot {e^{ - cx}}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
1. Teilaufgabe: Differenzieren, ohne zuerst auszumultiplizieren
2. Teilaufgabe: Zuerst ausmultiplizieren, dann differenzieren
Lösungsweg
Differenzieren, ohne zuerst auszumultiplizieren. Dh wir wenden die Produktregel an
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \left( 1 \right) \cdot \left( {{e^{ - cx}}} \right) + \left( {1 + x} \right) \cdot \left( { - c \cdot {e^{ - cx}}} \right) = \cr & = {e^{ - cx}} - c \cdot {e^{ - cx}} - cx \cdot {e^{ - cx}} = \cr & - {e^{ - cx}}\left[ { - 1 + c + cx} \right] = \cr & = - {e^{ - cx}}\left[ {cx + c - 1} \right] \cr} \)
Wir haben die Differentationsregeln für Exponentialfunktionen sowie die Produktregel angewendet.
Die Regel für das Differenzieren von Produkten lautet
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\, \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \cr}\)
mit:
\(u\left( x \right) = \left( {1 + x} \right)\) | \(u'\left( x \right) = 1\) |
\(v\left( x \right) = {e^{ - cx}}\) | \(v'\left( x \right) = - c \cdot {e^{ - cx}}\) |
2. Teilaufgabe:
Zuerst ausmultiplizieren, dann differenzieren
\(f(x) = \left( {1 + x} \right) \cdot {e^{ - cx}} = x \cdot {e^{ - cx}} + {e^{ - cx}}\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \left[ {1 \cdot {e^{ - cx}} + x \cdot \left( { - c} \right) \cdot {e^{ - cx}}} \right] + \left[ {\left( { - c} \right) \cdot {e^{ - cx}}} \right] = \cr & = {e^{ - cx}} - cx \cdot {e^{ - cx}} - c.{e^{ - cx}} = \cr & - {e^{ - cx}}\left[ { - 1 + c + cx} \right] = \cr & = - {e^{ - cx}}\left[ {cx + c - 1} \right] \cr} \)
Wir haben zuerst ausmultipliziert und erst danach die Differentationsregeln für Exponentialfunktionen sowie die Summenregel (wir haben zur Veranschaulichung an sich unnötige eckige Klammern gesetzt) und für den 1. Summanden noch die Produktregel angewendet
Die Regel für das Differenzieren von Produkten lautet
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = u\left( x \right) \cdot v\left( x \right);\, \cr & f'\left( x \right) = u'\left( x \right) \cdot v\left( x \right) + u\left( x \right) \cdot v'\left( x \right) \cr}\)
Für den 1. Summanden gilt:
\(u\left( x \right) = x\) | \(u'\left( x \right) = 1\) |
\(v\left( x \right) = {e^{ - cx}}\) | \(v'\left( x \right) = - c \cdot {e^{ - cx}}\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung für beide Teilaufgaben lautet:
\(f\left( x \right) = - {e^{ - cx}}\left[ {cx + c - 1} \right]\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.