Aufgabe 169
Differenzieren von Winkelfunktionen
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = {\left( {\sin x} \right)^2}\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir wenden die Regeln für das Differenzieren von Winkelfunktionen an.
Achtung: Bei diesem Beispiel müssen wir die äußere Ableitung und die innere Ableitung bilden.... Man kann die abgeleitete Funktion sofort hinschreiben....
\(f(x) = {\left( {\sin x} \right)^2}\)
\(f'\left( x \right) = 2\sin x \cdot \cos x\)
Wir haben die Kettenregel angewendet.
Gemäß der Kettenregel für das Differenzieren gilt
\(\eqalign{ & f\left( x \right) = v\left( {u\left( x \right)} \right); \cr & f'\left( x \right) = v'\left( {u\left( x \right)} \right) \cdot u'\left( x \right) \cr}\)
mit:
Substitution: | \(u = {\mathop{\rm sinx}\nolimits} ;\) |
Äußere Funktion: | \(v\left( u \right) = {u^2};\) |
Äußere Ableitung: | \(v'\left( u \right) = 2u;\) |
Innere Funktion: | \(u\left( x \right) = \sin x;\) |
Innere Ableitung: | \(u'\left( x \right) = \cos x;\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = 2\sin x \cdot \cos x\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.