Aufgabe 177
Kettenregel beim Differenzieren
Gegeben sei die Funktion: \(f(x) = \sin \left( {\sqrt x } \right)\)
Bilde die Ableitungsfunktion f‘(x) gemäß den Regeln der Differentialrechnung
Lösungsweg
Wir setzen an dieser Stelle die Ableitungsregel für die Sinusfunktion als bekannt voraus und wenden uns bei der Erklärung nur mehr der Kettenregel zu.
\(f(x) = \sin \left( {\sqrt x } \right) = \sin \left( {{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right)\)
\(\eqalign{ & f'\left( x \right) = \cos \left( {{x^{\dfrac{1}{2}}}} \right) \cdot \dfrac{1}{{2\sqrt x }} = \cr & = \dfrac{{\cos \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x }}; \cr}\)
Wir haben die Differentationsregeln für Winkelfunktionen angewendet und an die innere Ableitung der Klammer zufolge der Kettenregel gedacht:
\(\eqalign{ & f\left( {g\left( x \right)} \right) \cr & f'\left( {g\left( x \right)} \right) \cdot g'\left( x \right) \cr}\)
Substitution: | \(u = {x^{\dfrac{1}{2}}}\) |
Äußere Funktion | \(v\left( u \right) = \sin u\) |
Äußere Ableitung | \(v'\left( u \right) = \cos u\) |
Innere Funktion | \(u\left( x \right) = {x^{\dfrac{1}{2}}}\) |
Innere Ableitung | \(u'\left( x \right) = \dfrac{1}{2} \cdot {x^{ - \,\dfrac{1}{2}}} = \dfrac{1}{{2\sqrt x }}\) |
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
\(f'\left( x \right) = \dfrac{{\cos \left( {\sqrt x } \right)}}{{2\sqrt x }}\)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.