Aufgabe 78
Quadratische Gleichung mit einer Variablen
Gegeben sei folgende quadratische Gleichung:
\(4{x^2} - 12x + c = 0\)
Für welche c in \({\Bbb R}\) hat diese Gleichung genau eine Lösung?
Lösungsweg
Mit Hilfe der Diskriminante wird jener Faktor c des konstanten Glieds gesucht, bei dem die quadratischen Gleichung genau eine (Doppel-)Lösung hat. Beachte: Gesucht ist der Wert von "c" nicht das zugehörige x.
\(4{x^2} - 12x + c = 0\)
Gemäß der Formel für die "Rechnerische Lösung einer allgemeinen quadratischen Gleichung mittels abc Formel („Mitternachtsformel“)" gilt:
\(\eqalign{ & a{x^2} + bx + c = 0\,\,\,\,\,\,\,a,b,c \in {\Bbb R}\,\,\,\,\,a \ne 0 \cr & {x_{1,2}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt {{b^2} - 4ac} }}{{2a}} = \dfrac{{ - b \pm \sqrt D }}{{2a}} \cr & D = {b^2} - 4ac \cr}\)
An der Stelle D=0 hat die Gleichung genau jene (Doppel-)Lösung, die wir suchen:
\(D = {b^2} - 4ac = 0\)
wobei: a=4; b= -12;
\(\eqalign{ & D = {( - 12)^2} - 4 \cdot 4 \cdot c = 0 \cr & 144 - 16c = 0\,\,\,\,\,\left| { + 16c} \right. \cr & 16c = 144\,\,\,\,\,\left| {:16} \right. \cr & c = 9 \cr}\)
→ Für c=9 hat die Gleichung genau eine (Doppel-) Lösung (Die Lösung selbst ist gar nicht gefragt und sei nur der Vollständigkeit halber angegeben: x1,2 = 1,5)
Graph der Funktion
Ergebnis
Die richtige Lösung lautet:
Für c=0 hat die Gleichung genau eine (Doppel-) Lösung (x1,2 = 1,5)
Lösungsschlüssel:
Ein Punkt ist genau dann zu geben, wenn die gewählte Lösung mit der korrekten Lösung übereinstimmt.